X:'— A:) = AR
fO
l^i) THERMODYNAMIQUE.
L'équation
^^' AT — ^ f
devient
dk d-.'='''
k exprimé en fonction de ^ et de (^ est donc indépendant de v et fonction, par conséquent, de la température t seulement.
k' — A' étant constant, les deux caloriques spécifiques doivenl être, tous deux, des fonctions de la température.
105. Supposons, en second lieu, la température fonction delà pression p et indépendante du volume. Ce cas est celui des vapeurs saturées en présence du liquide qui leur donne naissance.
Le calorique spécifique A*' à pression constante n'a plus de sens dans ce cas (78).
L'équation
dk d^p
dv dt^
convient dans tous les cas.
On en déduit, en intégrant,
équation déjà obtenue (81) et dont les conséquences ont été développées.
106. Lorsque la relation entre la température, le volume et la pression est connue, on peut en déduire l'expression de la fonction désignée par la lettre U.
Cette fonction U est définie (51) par l'équation
d\} = k dt 4- Z' AT ^^ — A/7^ dv ; on en déduit
d\} dp
dv dt ' '
CHAP. VIII. — QUELQUES PROBLÈMES. i /\-J
qui peut s'écrire
dt\T J
dv
On en conclut, en intégrant les deux membres entre deux valeurs c^o et i^ du volume v et nommant Uq la valeur initiale de U,
U = Uo-HAT2^^^^^(4)^.= Uo-HAT25j>^.;
la seconde forme du second membre est identique à la première, pourvu que les valeurs choisies de Vç^ et de v soient indépendantes de t.
Cette formule a été donnée par Kirchhoff.
107. Problème IL — Quelles sont les propriétés thermiques des corps dont les caloriques spécifiques sont Vun et Vautre fonctions de la température?
Reprenons les deux équations obtenues (77)
dv dt^ '
dp " dr-'
V el t étant pris pour variables indépendantes dans la première et p et t dans la seconde.
Lorsque k et k' sont fonctions de t seulement, les premiers membres sont nuls. -— et -r-^ le sont donc aussi, et/?, considéré
comme fonction de t et de i^, ainsi que (^, considéré comme fonction de p et de i, sont l'un et Tautre des fonctions linéaires de t. L'équation qui lie /?, (^ et ^, si on la résout par rapport à /, doit donc être linéaire par rapport à /? et par rapport à (^; T est, par conséquent, de la forme
T = OifV -h P/> -i- Y t^ -r- 0,
a, p, y, 8 étant des constantes.
Or, de cette équation on déduit, comme il a été indiqué (103),
AT A ( oipv -f- P/? -h Y t^ -H 8 )
l4^ THERMODYNAMIQUE.
// — A^ doit, d'après les conditions admises, être une fonction de
T; cela n'est possible que de deux manières : ou bien k' — k est
constant et T est alors le produit de deux facteurs et de la
forme
ou bien on a
et, par conséquent,
T — %pv -4-
ou, ce qui revient au même,
/Jt'=:R(T4-{X).
Le cas des gaz parfaits correspond à la valeur zéro de la constante [JL.
108. Problème III. — Quelles sont les conditions pour que le travail interne de dilatation d'un corps soit nul?
La quantité de chaleur nécessaire quand le corps accomplit une transformation infiniment petite comprend :
i" La quantité de chaleur k dt qui suffirait pour produire, à volume constant, l'élévation de température;
tP La chaleur Ap di> équivalente au travail extérieur accompli pendant la dilatation;
3° La chaleur équivalente au travail intérieur de dilatation. Olte troisième partie doit être nulle.
L'expression de t/Q doit se réduire à
dQ — k dt - - A/? dv ; mais on a, en général (77),
dt La condition demandée est donc exprimée par l'équation
rp dp
dont l'intégrale est
p —T cp(r).
CHAP. VIII. — QUELQUES PROBLÈMES. j4<)
'^(r) désignant un facteur indépendant de t et de p qui peut ctn* une fonction quelconque du volume r.
La pression est proportionnelle à la température absolue. Les gaz parfaits remplissent cette condition; mais, dans le cas général, la relation entre le volume et la pression reste indéterminée.
109. Problème IV. — Quelles sont les conditions pour que Ut. compression dégage une quantité de chaleur équivalente au travail dépensé pour la produire?
La quantité de chaleur dégagée quand on comprime un corps est celle qu'il faut lui enlever pour que, malgré la compression, la température ne change pas.
On a
dt
On veut que, malgré la compression, on ait c/^ = o; par conséquent,
dO r-. \T -^{' di? :
dt
t/Q, équivalent au travail dépensé, doit être égal d Ap dv. L'équation du problème est donc
rp dp
elle a pour intégrale
c'est la même que dans le cas précédent.
La raison en est évidente. Si le corps, dont le travail intérieur est nul, est comprimé, le travail dépensé est consacré tout entier à réchauffement du corps; et, si le corps ne doit pas s'échauffer, il faut lui enlever cette chaleur équivalente au travail dépensé ; c'est elle que l'on nomme chaleur dégagée par la compression,
110. Problème V. — Quelles sont les conditions pour que la compression d'un corps dégage une quantité de chaleur proportionnelle au travail dépensé pour la produire?
L'équation qui exprime la condition demandée, obtenue comme dans le problème précédent, est
n étant le rapport constant entre la quantité de chaleur équivalente au travail et la quantité de chaleur dégagée. L'équation (7) a pour intégrale
\ T =/>" cp( v),
cp(i^) étgint une fonction de i^, que les conditions du problème laissent arbitraire.
m. Problème VT. — Quelles sont les conditions pour que le rapport de la quantité de chaleur dégagée par la compression d'un corps au travail employé à la compression soit une fonction linéaire de la température?
L'équation qui exprime la condition proposée, obtenue comme dans les deux cas précédents, est
dt dt
aT-j- p étant la fonction linéaire de T qui doit exprimer le rapport.
On peut écrire l'équation sous la forme
dp
'dt __ I
~y- T(aT+p)'
dont rintégrale est
G étant une fonction arbitraire de v,
H2. Problème VIL — Quelles sont les conditions pour qu^un corps comprimé y sans addition ni soustraction de chaleur j
CHAP. VIII. — QUELQUES PROBLÈMES. ï5l
obéisse à la loi de Mariotte^ c^est-à-dire pour que le produit du 'Volume par la pression soit constant malgré le changement de température qui résulte de la compression?
Les gaz parfaits ne remplissent pas cette condition, et le produit de la pression parle volume ne reste constant que si Ton empêche l'échauffement.
La fonction S, dont la différentielle (68) est -^y reste constante
pendant la compression, puisque la quantité de chaleur rfQ est, d'après l'énoncé, égale à zéro. Le produit /?(^ restant constant en même temps que S, on doit avoir
^ = ¥{pv).
L'équation
qui définit la fonction S, devient
r{pv){pdç-^s^dp)=^;
on en conclut
d(l = TV'{pv){pdv-\-vdp).
Écrivons, comme l'exige le théorème de Mayer (31), que la différentielle
û?Q — A/> dv
est intégrable^ on a
d\J = d(l — PLpdv = i: ¥\pv)v dp-i~r F'{pç)p dv — kpdv. La condition d'intégrabilité est
qui se réduit à
dont l'intégrale est
^t' = - ;jF'(/?p) + (p(/?p). .
Les fonctions F et cp sont arbitraires.
I ^2 TIIKRMODYRAAIIQUE.
113. Problème Vlll. — Quelles sont les conditions pour que les lignes adiabatiques d'un corps aient pour équation
pm^n — const.,
m et n étant deux constantes?
La condition est remplie par les gaz parfaits, mais elle pourrait Yèivc par un nombre infini d'autres corps.
Le problème est la généralisation du précédent, avec lequel il se confondrait si m et n étaient égaux à Tunité.
On devra écrire, pour des raisons identiques à celles qui ont été indiquées (112),
on en conclut
dS = -=,- = o'(p'"v")(mp»*-^ç" dp -h nv'^-^p^ dv).
di) — \p dv doit être intégrable; on trouve, en exprimant cette condition,
4 , , »/ s / dt dt\
- A = çn-Xpm-l ^'(^pm,.n)i^nw-^- np ~^~y
que Ton peut écrire
— A m dt n dt
çn pin c^\pmçn^ p dv V dp
Cette équation définit t en fonction de p et de v.
Posons, en suivant la méthode générale d'intégration,
dv dp dt p^v^o'{p^vf^)
I/équalion
dv dp
ni n
a pour intégrale
on déduit ensuite du système (8)
p dv -\- V dp dt p^v^ ^'{p"^v^) in — Il A
