CHAPITRE X

132. Faible rendement attribué par Regnault à la machine à vapeur. — 133. Il n'a pas tenu compte de la condensation pendant la détente. — 134, 135. L'influence de la condensation est défavorable au travail, et cependant la découverte da phénomène a augmenté la valeur calculée du rendement. — 13G. On pourrait prévoir la condensation en assimilant la vapeur à un gaz. — 137. Le calorique spécifique de la vapeur saturée est négatif. — 138. Calcul de ce calorique spécifique. — 139. Calcul de la quantité de vapeur liquéfiée pendant la détente. — 140. — Deuxième démonstration. — 141. Troisième démonstration. — 142. Applications. Maxiina de la quantité d'eau condensée. — 143. Démonstration directe de la formule. — 144. Application à la vapeur d'eau. — 145. Application à la vapeur d'éther. — 146. Solution du même problème en admettant les principes de Clapeyron : la vapeur se condenserait par la compression. — 147. Le calorique spécifique de la vapeur d'eau saturée serait positif. — 148. Calcul de la pression en fonction de la température, en considérant la vapeur comme un gaz, sans faire aucune hypothèse sur la loi de la chaleur latente.— 149. Emploi de lu vapeur surchauffée; avantage qui en résulte. — 150. Applications numérique?. — 151. Chemise de Watt. — 152. L'influence des parois rend les calculs fort éloignés de la vérité.

132. Les conclusions de Regnault sur reflet utile des machines à vapeur ont, pendant quelques années, érau les mécaniciens. La machine à vapeur, s'il avait fallu croire l'illustre physicien, serait un moteur très imparfait. Les machines les mieux construites ne rendent en travail qu'ime très petite partie de la dépense.

Regnault avait négligé dans ses calculs une circonstance alors inconnue, à Télude de laquelle est consacré ce Chapitre.

On n'a jamais, d'ailleurs, contesté les services rendus par la vapeur; sans se plaindre du nombre de kilogrammètres, on trouvait son équivalent en calories trop petit.

1^^ de charbon produit, en brûlant, 8000*^*^; chaque calorie équivaut à 426'^8»n. L^g mécaniciens, sans le contester, n'ont jamais espéré 8408000''^°' par kilogramme de charbon, ni accusé d'imperfection une machine qui, par heure et par force de cheval, consomme plus de 806^^ de charbon. Telle devrait être, cependant, d'après le principe de Mayer, accepté sans commentaire, la ration théorique d'une machine.

133. Le théorème de Carnot avait abaissé la limite. Les températures extrêmes, dans une machine sans condenseur, étant i5o° et 100°, il assignait pour limite supérieure au rendement

théorique la fraction

C'est par ce facteur, en mettant tout au mieux, qu'il faut multiplier le chiffre indiqué par l'équivalent mécanique de la chaleur, les 388ooo^sm ainsi déclarés possibles pour chaque kilogramme de charbon brûlé laissent une belle carrière au progrès.

Le raisonnement par lequel Regnault proposait une évaluation beaucoup moindre contient deux erreurs : l'une de principe, qui accroît le résultat; l'autre de fait, qui le diminue. Toute correction faite, le chiffre véritable est beaucoup plus grand que le sien.

La vapeur, à une température et sous une pression données, contient, suivant Regnault comme suivant tous les physiciens auxquels il s'adressait alors, une quantité déterminée de chaleur. Une portion de cette chaleur disparaît dans la machine et s'y transforme en travail. Il suffît donc, pour juger la puissance d'une machine, de calculer la chaleur qui entre et d'en retrancher celle qui sort. La différence, multipliée par l'équivalent mécanique de la chaleur, représente le travail.

Regnault, en raisonnant ainsi, croyait appliquer le principe encore peu connu et peu commenté de Mayer. On ignorait alors que la quantité de chaleur contenue dans un corps n'est nullement déterminée. Le travail d'une machine est représenté, non

par la différence entre la chaleur qui entre et celle qui sort, cette différence n'a pas de sens précis, mais par la diminution de la fonction désignée par U (50). Si, pendant le travail de la vapeur, on ne donne ni n'enlève de chaleur, la variation de la fonction U est égale et de signe contraire à l'équivalent du travail accompli, dont elle est, par conséquent, la mesure.

La fonction U, pour i^^ de vapeur saturée à la température T, a pour expression (54)

CT-+-r — A/?(cr — 5),

C étant le calorique spécifique de l'eau, r la chaleur d'évaporalion à la température T, p la pression, o- le volume de i^s Je vapeur et s celui de i*'^ d'eau.

Pour Regnault, la quantité de chaleur contenue dans i*^ de vapeur était représentée par

GT -H r,

c'est-à-dire par le nombre de calories nécessaires pour transformer ï^^ fictif d'eau liquide à la température zéro en i''^ de vapeur à la température T. Il ne tenait pas compte du terme A/?(o' — s), qui représente le travail extérieur produit pendant la transformation de l'eau en vapeur. Ce terme négatif a pour valeurs :

Pour T = 423 44, o8

Pour T = 373 40j2o

Il augmente avec la température^ en le négligeant, on trouve pour la diminution de la fonction U, correspondant à une variation donnée de température, une évaluation trop grande.

On a, d'après les Tables déduites directement de l'expérience:

Pour T = 423 U == 4'23 4- 500 — 44,08=^878,4

Pour T = 373 U = 373 -+- 535 — 40,20 = 867,8

La différence 10,60 entre les valeurs de U doit représenter le travail. Sur 635 unités de chaleur nécessaires pour produire i*^ de vapeur saturée à 100°, la machine en utiliserait 10. Tel est le résultat que Regnault aurait dû obtenir.

Une circonstance dont on n'a pas tenu compte le rend inexact.

134. La vapeur se liquéfie en partie pendant le travail. Ce fait important a été découvert par Clausius et par Rankine, à peu près en même temps. Tous deux Font aperçu comme conséquence de la théorie. Beaucoup d'autres, avant eux, avaient vu des gouttes liquides ruisseler dans l'intérieur du cylindre, s'y accumuler et rendre nécessaire l'enlèvement d'une quantité notable de liquide; mais on croyait cette eau mécaniquement entraînée de la chaudière.

La condensation de la vapeur rend la fonction U plus petite. La diminution de cette fonction s'accroît donc par la substitution d'eau liquide à une portion de la vapeur. Pour parler le langage accepté il y a quarante ans, une plus grande quantité de chaleur, par reflet de cette condensation, est abandonnée dans l'intérieur de la machine. L'évaluation du travail produit sera, par là, augmentée.

135. Avant de démontrer la liquéfaction nécessaire d'une portion de la vapeur, nous en examinerons de plus près les conséquences.

Si James Watt, pendant qu'il construisait sa première machine, avait pu deviner, ou constater, cette liquéfaction, elle aurait certainement diminué ses espérances.

La transformation en liquide inerte de la vapeur si chère nfent achetée, et amenée dans le cylindre avec tant de soin, aurait été pour lui une déception. Le fait, opposé comme une réponse triomphante aux détracteurs de la machine, semble, à première vue, et est réellement une imperfection 5 avant de l'affirmer, il faut y regarder de plus près.

La vapeur, en se condensant, dégage de la chaleur; elle réchauffe la partie qui reste gazeuse. On peut la comparer à un soldat qui, en tombant pendant le combat, remet ses armes à ceux qui l'entourent : elles ne cessent pas d'être utiles. Mais on

admettra difflcileinent que, tout compensé, l'événement soit heureux.

Supposons que, i^s Je vapeur étant introduit dans le cylindre, la détente se fasse entre la température initiale T© et la température finale T|. Pour chaque température, la pression de lavapeur est déterminée; nous aurons pour elle, entre la température Tq et la température T^, la même série de valeurs dans les deux cas. Mais, lorsqu'une portion est condensée, la vapeur, à température et à pression égales, occupe un volume moindre. Le travail étant l'aire d'une courbe dont les points ont pour ordonnées les pressions et pour al)scisscs les volumes, la condensation partielle diminue les abscisses sans changer les ordonnées; le point initial étant le même, elle diminue l'aire qui mesure le travail. L'influence de la condensation est défavorable. La^^. 3o le montre aux yeux, s'il en est besoin, La surface A^ A3P3P1 est plus petite queA|A2P2P<.

Fig. 3o.

Si, au lieu des températures extrêmes, on se donnait les volumes occupés par la vapeur au commencement et à la fin delà course du piston, la conclusion serait la même. Pour un même volume de vapeur saturée, la température, et par conséquent la pression de celle dont le poids est moindre, sera plus petite. Le volume de 1"*^ de vapeur saturée augmente, en effet, quand la température diminue : égal à 210™*^ à la température zéro, il est, à 200**, réduit à 0,1 25. Le travail, dans le cas où la vapeur se condense en partie, est donc représenté par l'aire d'une courbe dont les points ont les mêmes abscisses et les ordonnées sont plus

petites. La surface A4A3P2P4 i^fig' 3i) est plus petite que

Fig. 3i.

Al

A quelque point de vue que l'on se place, soit que Ton assigne les températures extrêmes, soit que Ton se donne le volume au commencement et à la fin de la course du piston, la condensation pendant la détente diminue le travail produit.

Les physiciens, cependant, ont vu avec raison, dans la découverte de la condensation, une réponse heureuse aux calculs de Regnault.

Ces conclusions semblent contradictoires. Le constructeur d'une machine à vapeur doit-il, oui ou non, considérer la condensation pendant la détente comme favorable au travail? La question semble nette.

Elle l'est si peu qu'il est impossible d'y répondre.

Si deux liquides, identiques pour tout le reste, différaient en un point seulement, la vapeur de l'un se condensant pendant la détente, celle de l'autre conservant l'état gazeux, on pourrait demander lequel des deux, pour une même dépense de chaleur, produit le plus de travail. L'avantage, nous l'avons prouvé, serait pour la vapeur qui ne se condense pas. Mais l'hypothèse implique contradiction. La théorie lie les unes aux autres les propriétés d'une même vapeur; il n'est pas permis, même hypothétiquement, d'en changer une sans toucher aux autres; cela est si vrai que, les autres propriétés de l'eau étant connues, la théorie a révélé la condensation.

Le problème proposé : La condensation, lorsque rien autre PL est changé, est-elle oui ou non favorable? implique contradiction dans son énoncé.

Supposons, les conditions sont analogues, qu'en calculant la surface d'une ellipse on se soit persuadé que les rayons vecteurs issus du foyer coupent la courbe à angle droit. Cette erreur introduite dans des raisonnements, d'ailleurs irréprochables, pourra conduire à des résultats fort éloignés de la vérité. Aucun géo- . mètre ne serait embarrassé, pour démontrer, en s'appuyant sur la condition admise, que l'ellipse est équivalente à un cercle de rayon égal au plus petit des rayons vecteurs.

Si un tel résultat était annoncé, on s'étonnerait de trouver à l'ellipse une si petite surface. On découvrirait bien vite la cause de l'erreur : l'ellipse, contrairement à l'hypothèse admise, coupe obliquement ses rayons vecteurs.

Pourrait-on dire alors que cette circonstance accroît la surface?

Pourrait-on demander si, toutes choses égales d'ailleurs, une courbe qui coupe ses rayons vecteurs à angle droit est plus petite que celle qui les coupe obliquement? ou plus simplement, cela revient au même, si la surface d'un cercle, toutes choses égales d'ailleurs, est plus grande que celle d'une ellipse?

La question n'a pas de sens.

Ceux qui, sans tenir compte de la condensation, avaient calculé l'effet utile comme si elle n'avait pas lieu, acceptaient une formule que cette omission rend inexacte. Le résultat doit être rejeté, non corrigé. On ne doit pas, parce qu'il est trop petit, en conclure que la circonstance négligée en démontrant la formule est, par ellemême, de nature à accroître le travail.

Je proposerai une seconde comparaison. Un industriel fait ses comptes. Le résultat est défavorable. La recette semble inférieure aux frais de fabrication. Il étudie la situation et découvre qu'un vol fait dans sa caisse rendait son calcul faux. Les affaires vont bien. Il pourra se réjouir d'avoir appris le vol, sans croire pour cela que le voleur lui ait rendu service.

136. Revenons sur le fait de la condensation pendant le travail.

Rankine et Clausius en ont affirmé la nécessité. Leur décou-

verte, vérifiée par les expériences de M. Hirn, a été considérée comme un triomphe pour les principes nouveaux dont, chacun de leur côté, ils Font déduite.

On s'explique difficilement l'étonnement qu'elle a causé. Personne, jusque-là, ne s'était posé la question. Elle se présente pourtant bien naturellement, et le plus simple examen suggérait la réponse.

La vapeur se dilate dans le cylindre d'une machine à vapeur. La dilatation est une cause de refroidissement. Le refroidissement tend à condenser la vapeur. D'un autre côté, l'accroissement de volume permet au même poids de vapeur de rester à l'état de saturation à une température moindre. Deux effets contraires sont donc en présence. Lequel des deux l'emportera? Les mécaniciens et les physiciens, dans leurs études incessantes sur la vapeur d'eau, n'avaient pas eu la curiosité de le chercher. On avait cru, sur la foi de Watt, à une compensation parfaite. La vapeur, échauffée par la compression ou refroidie par l'expansion, devait saturer, à chaque instant, l'espace occupé par elle. Quand, après le travail d'une machine, on trouvait de l'eau dans le cylindre, on la croyait sortie de la chaudière et entraînée mécaniquement.

Les lois du refroidissement d^un gaz par expansion étaient bien connues (19). i^^ d'air à i5o**, sous une pression de 5**"*, c'està-dire de 5i665^s par mètre carré, se dilatant jusqu'à ce que la pression soit réduite à io333^s^ c'est-à-dire i®'", prendrait, le calcul est facile, une température absolue égale à 213, c'est-à-dire 60** au-dessous de zéro, se refroidissant de 210**.

1^5 de vapeur d'eau saturée à i5o® a précisément une pression égale à 5*^™; s'il se dilate en produisant du travail jusqu'au moment où la pression est de i**^™, il aura, si la vapeur reste saturée, une température de 100** et se refroidira, par conséquent, de 5o°.

Si donc, comme on le supposait avant la découverte de Clausius, la vapeur restait tout entière à l'état gazeux, il faudrait admettre que deux gaz, l'air et la vapeur d'eau, travaillant dans des circonstances identiques de pression initiale et de pression finale, se refroidiraient l'un de 210^, l'autre de 5o°.

Les caloriques spécifiques étant différents et ceux de la vapeur d'eau étant mal connus, cette différence n'implique pas contradiction, mais elle paraît peu vraisemblable, et il est tout naturel de l'expliquer en supposant que la vapeur ne reste pas gazeuse, c'est-à-dire qu'elle se condense. Si les physiciens n'avaient pas le droit d'affirmer la condensation de la vapeur, les théories connues les préparaient à en accueillir l'annonce sans étonnement.

137. La condensation de la vapeur pendant la détente a été annoncée sous une forme qu'il faut expliquer : le calorique spécifique de la vapeur saturée est négatif.

Tous les corps, nous l'avons expliqué (7), peuvent avoir un calorique spécifique négatif : cela dépend des conditions de leur échauffement. Le calorique spécifique de la vapeur saturée n'est ni à volume constant ni à pression constante, mais à volume décroissant et à pression croissante. i^R de vapeur saturée occupe un volume d'autant moindre que la température est plus élevée. Le coefficient de dilatation, pour elle, est négatif. La diminution du volume produit un échauffement; si cet échauffement est trop grand, il faudra le diminuer, et, pour cela, enlever de la chaleur.

Remarquons bien que la vapeur saturée n'est pas une substance déterminée comme l'eau, le mercure ou l'hydrogène. Dans la liste des corps simples ou composés, si complète qu'elle soit, il n'en existe pas qu'on puisse appeler vapeur saturée. Pas plus qu'on ne pourrait inscrire sur la liste un corps se nommant: un mètre cube d^eau. Comment, en effet, considérer l'^s d'un tel corps? On peut, il est vrai, parler de \^^ de vapeur saturée, mais si on le comprime ou le dilate, le refroidit ou l'échauffé, il s'évanouira pour faire place à l'^s de vapeur surchauffée ou à un mélange de vapeur et de liquide. La prétendue substance nommée vapeur saturée cessera d'exister.

Quand on a produit, sous un volume donné, \^^ de vapeur saturée, il faut, pour l'échauffer de i° sans changer le vo-

lume, lui donner une quantité positive de chaleur qui est le calorique spécifique de la vapeur à volume constant. Après cette opération, la vapeur n'est plus saturée; elle est surchauffée. Pour la rendre saturée, sans lui faire perdre l'élévation produite dans la température, il faut diminuer le volume, la comprimer par conséquent. Mais la compression échauffe. Pour que la vapeur conserve la même température en diminuant de volume, il faut, pendant cette seconde opération, lui enlever de la chaleur. Cette chaleur enlevée est, pour l'eau, plus grande que le calorique spécifique à volume constant. Tel est le théorème de Clausius.

Puisque le calorique spécifique de la vapeur saturée est négatif, il faut, quand elle s'échauffe, lui enlever de la chaleur, lui en fournir quand elle se refroidit. Quand le travail, dans le cylindre d'une machine, refroidit la vapeur, il faudrait donc, pour qu'elle restât saturée, que les corps voisins donnassent de la chaleur; quand ils ne le peuvent elle se liquéfie.

138. Pour calculer le calorique spécifique de la vapeur saturée, considérons un vase de volume i^, contenant un poids x de vapeur et un poids i — ^ de liquide. Cherchons la quantité de chaleur nécessaire pour accroître la température de dt. Nous avons (55 et 82) résolu ce problème, en faisant remarquer que l'étude des détails rendrait la solution moins facile.

Après avoir calculé la somme, cherchons chacune des parties. Le calorique spécifique que nous cherchons figure précisément dans l'une d'elles.

Pour accroître la température de dt, il faut : i° chauffer le liquide dont le poids est (i — x) : la quantité de chaleur nécessaire estC(i — ûc)dt; 2^ chauffer le poids x de vapeur saturée, en la laissant saturée : h étant le calorique spécifique de la vapeur saturée, la quantité de chaleur nécessaire est hxdt\ 3° cette vapeur saturée, qui s'est échauffée en restant saturée, ne remplira plus la partie libre du vase : étant plus chaude, elle sature un espace moindre; une nouvelle quantité dx de liquide devra s'évaporer, et, si r est la chaleur d'évaporation, la quantité de chaleur né-

cessaîre sera rdx^ que nous pourrons écrire, x étant, pour une valeur de (^, fonction déterminée de t^

dx ,

-y-dt.

La quantité de chaleur à fournir est donc

G(i — x) -\- hx -\- r -j- dt.

Si, la température restant constante, le volume s'accroissait derfp,

dx d^

la quantité de vapeur s'accroîtrait de -7- rfp, et la quantité de cha

leur à fournir serait

dx .

r -~- av.

En désignant donc par rfQ la quantité de chaleur qu'il faut fournir pour rendre possible le changement infiniment petit le plus général, dans lequel t s'accroît de dt et v de dç^ on a

c?Q = G(i — a?) -h hx -^ r-r \dt-\-r -f-^dv.

Le théorème de Mayer exige (50) que la différence

c?Q — kp dç

soit intégrable. La condition, pour qu'il en soit ainsi, est

c'est-à-dire, en remarquant que r et h sont indépendants de v et en supprimant le terme commun r , , ?

rys.dx ^ dr dx dp

-7- est égal, comme il a été expliqué plusieurs fois (54), à >

T étant le volume de i*'^ de vapeur saturée et s celui de 1**^ de

liquide. On a donc, en multipliant par t — s égal à -t-i

or, d'après le théorème de Clapeyron (80),

on a donc

. = ATf(,-,);

„ dr r

On a, dans le cas de l'eau,

On en déduit, en remplaçant G, calorique spécifique de la vapeur

d'eau, par l'unité,

pour les valeurs de T inférieures à 800, c'est-à-dire pour les températures inférieures à 627**, h est négatif.

139. Il ne suffit pas de savoir que, pour refroidir la vapeur en la laissant saturée, il faut lui fournir de la chaleur, ni même d'avoir calculé l'expression de cette quantité de chaleur, correspondant à un abaissement infiniment petit dû de la température; il faut chercher quelle est, lorsque cette chaleur fait défaut, la portion qui reprend l'état liquide.

Reprenons la formule (i)

<iQ = Aa? ^- G (i — a?) 4- r -T- dt'\-r-j-dv.

Remplaçons h — G par la valeur obtenue, ^ — ;=;; l'équation deviendra

Mais

dx , dx , ,

-j- dt -^ -z- dv = dx\ dt dv

par conséquent,

dq = \(^-^^\ X ^ Q}dt -^ r dx.

Si la vapeur est dilatée ou comprimée sans addition de chaleur, on a

et, par conséquent,

Est-il nécessaire de faire remarquer que la dérivée -i-» qui

multiplie r dans cette équation, n'est pas la même que la dérivée

-7- qui figurait dans Téquation (i) comme multiplicateur de dû

La première est le rapport de dx à dt pendant l'expansion, l'autre étant le rapport de dx à dt lorsque le volume reste constant. L'équation (3) peut s'écrire

,,. ^ d.rx rx

elle a pour intégrale

(5) rir = GT — GT/T,

G étant une constante introduite par l'intégration.

Cette équation fait connaître, à chaque instant de la détente, pour une valeur donnée de la température, la quantité x de vapeur non condensée et, par conséquent, le poids (i — x) du liquide formé.

Il est aisé de s'expliquer la présence d'une indéterminée G dans la formule. La température T étant choisie arbitrairement, la chaleur d'évaporation r peut s'en déduire; mais il est impossible, on le comprend, de calculer, d'après cette seule donnée, le rapport du poids de la vapeur à celui du liquide : il dépend du vo-

lume initial du vase, qui ne figure pas dans la formule. La constante G le remplace.