L'équation
rx=GT—CTlT
peut se démontrer de plusieurs manières.
Lorsque la vapeur se détend, sans qu'aucune quantité de chaleur lui soit communiquée, on a, d'après nos notations habituelles,
l'entropie (68) / -?p est donc constante. Or nous avons trouvé (71)
pour l'entropie de i^s composé de (i — x) de liquide et de x de vapeur l'expression
On doit donc avoir, en désignant par G une constante.
C'est précisément l'équation (5).
141. On obtiendrait la même équation en exprimant que, pendant la détente, sans addition ni soustraction de chaleur, lorsque la température varie, la variation de la fonction U est équivalente au travail accompli.
La fonction U (S4), pour un poids x de vapeur, saturée bien entendu, associé au poids (i — x) de liquide, a pour expression
(6) U = CT-hrx — Apx((j — s),
/•, or et s ayant la même signification que dans les Chapitres précédents.
On déduit de (6), par la différentiatlon, en remarquant que, dans ce changement adiabatique, une seule variable est indépen- B. i5
dante,
d ï*x du
dXS = G c?^ H — -j— dt — k'-^dtx{(5 — s) — kp d.x(a — s).
La variation rfU doit être égale à — Ap rfp, c'est-à-dire à
— kp d[s -Ha7(ff — s)]
et, puisque s est constant, à
— kpd,x{<j — s);
Tégalité
dl] = — kp dv
devient donc
Cdt-\ -, — dt — k-~dt x((7 — 5) = o.
dt dt ^ ^
En supprimant le facteur dt^ remplaçant A -^ (o- — s) (80) par sa
valeur 7p > on trouve
^ d,rx rx
C'est précisément l'équation (4).
142. Considérons, comme application, l'^s de vapeur saturée à iSo**, sans mélange de liquide ; elle se détend, produit du travail, la température s'abaisse à 100**. Quel sera le poids de vapeur condensée pendant la détente?
On doit, d'après l'énoncé, en faisant T = 428, température absolue qui correspond à i5o°, avoir x = i. Par conséquent, en prenant pour unité le calorique spécifique C de l'eau,
La valeur de r est, d'après les Tables,
r = 5oi;
on en déduit, en n'oubliant pas que, dans l'équation (5), le logarithme est népérien,
logG = 0,85921
et, en faisant T =^ 378,
Le Tableau suivant donne, pour i^^ de vapeur qui se détend de i5o° à 4o** et de 200** à 100°, la quantité d'eau condensée de lo** en 10°.
Vapeur d'eau.
rx = GT — T/T.
1^ To =
= 4îi3, logG
536, 5oo
2°To = 473, logG
373 536, 5oo
143. La vapeur d'eau saturée, lorsqu'elle se détend en l'absence de son liquide, commence par se condenser; mais ce phénomène, dont nous avons trouvé la loi, ne se continue pas indéfiniment. La quantité d'eau formée, qui d'abord est supposée nulle, peut atteindre un maximum à partir duquel elle décroît.
Pour obtenir ce maximum, reprenons l'équation (5)
ra7=GT-GT/T,
qui donne x en fonction de T, puisque /• lui-même est connu par les Tables, en général, * par une formule très exacte dans le cas de la vapeur d'eau.
La différentiation de l'équation (5) donne
dt dt
La condition du maximum est -j- = o ; on aura donc
On en déduit
G = ar^-+-G-f-G/T at
et, en substituant dans (5),
GT
dt
Si l'on supposait, au début de l'opération, à la température T une quantité i — ;r de vapeur déjà condensée, l'expansion se produirait au premier instant sans condensation et sans formation de vapeur nouvelle.
Dans le cas de la vapeur d'eau, on a
r — 8oo — o,7o5T,
r-T~ =8oo.
at
La formule devient, en y remplaçante, calorique spécifique de l'eau liquide, par l'unité,
Si l'on suppose T = 4^3, on a
Telle est la quantité de vapeur qui, en présence de o,47i3 d'eau liquide, à la température de i5o°, ne se condense pas parla détente.
Supposons, à la température de i5q°, 0^^^52877 ^® vapeur en présence de o^^^^'jxZ de liquide. Si l'expansion a lieu sans addition ni soustraction de chaleur, la quantité x de vapeur sera
donnée à chaque instant par la formule
La constante G étant déterminée par les circonstances initiales,
qui donnent
5oo X 0,52877 = 4^3(0 — /.423),
le logarithme est népérien. On a
et l'on trouve
Si, adoptant cette valeur de G, on suppose T = S^S, r = 536, on trouvera, pour la quantité de vapeur qui subsiste à la température de 100°,
La quantité de vapeur a donc diminué.
144. Les Tableaux suivants montrent, par des exemples, la grandeur et la marche de la condensation.
Supposons d'abord la température initiale égale à 160° (433) et la proportion de vapeur 0,628507. Elle est choisie de manière à obtenir, pour T = 423, la quantité calculée par la formule (8) dont la valeur est un maximum.
5oo
5oi
5oi
5io
5io
Vapeur d'eau.
rx = GT
-TlnT,
6,67460, logG = o,
3io
oi5
ii5
5io
ii4
oi3
Supposons, en second lieu, de l'eau entièrement liquide portée à la température 200®. On la laisse se réduire en vapeur. Le refroidissement, qui résulte à la fois du travail et de Tévaporation, abaisse la température à zéro avant que le quart du liquide soit vaporisé.
Vapeur d'eau.
rar = GT — T/„T, = 6,1590953, log G = 0,7895169.
Supposons maintenant de la vapeur à 200° en présence d'un poids triple de liquide. L'expansion, jusqu'à abaissement de la température à 0°, accroîtra la quantité de vapeur suivant le Tableau :
Vapeur d'eau.
rx = GT — T/«T,
G = 6,4o45o, logG = 0,8064849.
473 o,25oooo
423 o,3oi65o
0,340645 0,344929 0,348605 0,35 1688 o,354îi5i o, 356081 0,357400 o,358i35 o,3583i5 0,357858
145. La condensation pendant la détente n'est pas une propriété commune à tous les liquides. Le calorique spécifique de la vapeur d'éther saturée est positif.
Le Tableau suivant donne la quantité d'éther condensée par la compression de i''^ de vapeur saturée à la température de 4o°, s'échauffant jusqu'à 120°:
Vapeur d'éther.
rx = GT — T/„T.
146. La formule (7), déduite de la théorie des maxima, aurait pu se démontrer a priori.
Lorsque la vapeur se dilate, elle se refroidit. Il faut, pour qu'elle reste saturée, lui fournir (137) une certaine quantité de chaleuf ; la condensation d'une portion de la vapeur fournit celle chaleur. Mais ce liquide déjà formé doit se refroidir, et la chaleur qui lui est enlevée peut servir à maintenir la vapeur saturée sans qu'aucune portion de celle-ci se condense. Il suffit, pour qu'il en soit ainsi, que les deux quantités de chaleur qu'il faut donner à la vapeur et enlever au liquide soient égales entre elles.
Soient X le poids de la vapeur, i — x celui du liquide. Si la température diminue de dt sans formation de vapeur nouvelle et sans condensation, il faudra fournir à la vapeur saturée une quantité de chaleur — hdt [A est négatif (137)]. Le liquide devra perdre C(ï — x)dt. La condition pour qu'il y ait compensation
est
hx-\- G(i — x) = o.
d'où
mais (138)
par conséquent,
