Le travail des forces extérieures. — Considérons

maintenant le cas où le système n'est pas isolé, où il y a des forces extérieures. Soient ch le travail de ces forces et ch' celui des forces intérieures pour un déplacement infiniment petit. Si (AV est la variation de la demi force vive, le théorème des forces vive donne

r/\Y == ih + ch'.

Si nous supposons encore que les forces intérieures admettent une fonction des forces — V, nous avons

dV = — ch'.

Par conséquent en additionnant, nous obtenons,

,/YY -f cl\ = ch.

Le travail des forces extérieures pendant un déplacement est donc égal à la variation de l'énergie totale du système pendant ce déplacement.

9. Cas où il y a conservation de l'énergie. — Pour reconnaître s'il y a toujours conservation de l'énergie, il suffit donc de chercher si, dans un cas quelconque, les forces intérieures admettent une fonction des forces.

On sait qu'une telle fonction existe lorsque les points matériels du système s'attirent ou se repoussent suivant les droites qui lesjoignent deux a deux avec une force ne dépendant que de la distance qui les sépare, et si en outre, il y a égalité entre l'action et la réaction.

Cette dernière condition est toujours réalisée d'après le principe de l'égalité de l'action et de la réaction, principe justifié par tous les faits connus. Mais on peut imaginer des

systèmes où les forces ne satisfont pas aux conditions ci-dessus et où par conséquent il peut n'y avoir pas conservation de l'énergie. Les principes fondamentaux de la Mécanique ne suffisent dune pas à démontrer dans toute sa généralité le principe de la conservation de l'énergie : ils apprennent seulement que ce principe est vérifié toutes les fois que les forces intérieures du système considéré admettent une fonction des forces.

10. Les conséquences de l'impossibilité du mouvement perpétuel. — Examinons maintenant ce qu'il était possible de déduire de ces résultats en les combinant avec le principe de l'impossibilité du mouvement perpétuel enseigné par Galilée.

Montrons que si les forces qui agissent sur les divers poinls du système ne dépendent que de leurs positions il existe une fonction des forces.

Pour simplifier la démonstration supposons le système réduit à un point matériel M soumis à une force satisfaisant à la condition précédente et dont les composantes sontX, Y, Z.

La variation de la demi-force vive de ce point pour un déplacement élémentaire esl, d'après le théorème des forces vives,

rfW = Xdx + Xdy -f Zdz.

Si le point considéré passe de la position M„ à la position M, la variation W — \V0 de sa demi-force vive est donnée par

W — Wfl = f{Xdx -f- Xdy -f- Zdz),

l'intégrale étant prise le long de la courbe décrite parle point mobile. Dans le cas où le mobile revient à sa position initiale M0, l'intégration doit alors être prise le long d'une courbe fermée C; soit alors I la valeur de cette intégrale.