L'impossibilité du mouvement perpétuel. — Les
premières traces de l'idée de la conservation de l'énergie remontent très loin.
De tout temps la découverte du mouvement perpétuel a été le but de bien des recherches. Galilée, s'inspirant des conditions de fonctionnement des machines simples, affirma le premier l'impossibilité d'un tel mouvement.
Prenons un treuil, par exemple. Soit Q la force agissant sur la corde qui s'enroule sur le cylindre, de rayon r, du treuil.
Nous pouvons lui faire équilibre en appliquant à la manivelle
une force plus petite, Q — • Rétant le rayon de la circonférence
décrite par le boulon de la manivelle. Si la machine est animée d'un mouvement uniforme, ces deux forces, la résistance et la puissance, sont encore dans le même rapport. Nous pouvons donc avec une force donnée faire monter un corps dont le
poids est à cette force dans un rapport— • plus grand que l'unité.
Mais si nous multiplions la force, nous ne créons pas de travail, caria vitesse du point d'application delà résistance est à celle
du point d'application de la puissance dans le rapport =r>
inverse du précédent. En un mot, le travail de la résistance est égal à celui de la puissance.
Galilée vérifia celte égalité pour le moufle et, en général, pour toutes les machines simples. Mais il observa qu'il fallait prendre pour résistance, non pas la force utile développée, mais cette force augmentée de celles qui résultent des résistances passives telles que le frottement. Ces dernières forces existant nécessairement dans tout mécanisme matériel, Galilée en conclut, avec raison, que le travail utile est toujours inférieur au travail de la puissance. Du travail ne peut donc être créé et, par suite, le mouvement perpétuel est impossible.
3. Mais, si aucune machine ne peut créer du travail, il n'est pas évident que le travail ne puisse être détruit. La conservation de l'énergie ne saurait donc être une conséquence de l'impossibilité du mouvement perpétuel, bien que la réciproque soit vraie. Par suite on ne peut affirmer que Galilée se soit bien rendu compte qu'il y avait conservation de l'énergie dans les machines qu'il étudiait.
Cependant on trouve dans les œuvres du grand physicien du xvie siècle la démonstration du principe de la conservai ion de l'énergie, dans un cas particulier. On sait en effet que Galilée a démontré que la vitesse acquise par un corps grave tombant d'une hauteur h est égale à ^tgh. quelle que soit la nature du chemin parcouru par le corps par suite des liaisons; on a donc
v=\fëgh,
ou
Or le premier terme de cette relation est l'énergie due à la force vive du corps, la masse de ce corps étant prise pour unité ; le second, — gh est, à une constante près, l'énergie potentielle de ce même corps, ou mieux, du système formé par ce corps et la terre; par conséquent, l'égalité précédente exprime que la somme de ces deux énergies est constante, en d'autres termes qu'il y a conservation de l'énergie.
4. Le principe de la conservation du mouvement. — Quelques années après, Descartes énonce le principe de la conservation du mouvement. Certes sa démonstration n'a rien de scientifique: Dieu étant immuable, dit-il, il a dû conserver la même quantité de mouvement. D'ailleurs, tel que l'entendait Descartes, ce principe est faux, il est déraisonnable.
En effet la quantité de mouvement d'un système est la somme des produits des masses des points matériels qui le composent par les vitesses de ces points. Si donc, m{, m2,.. . mi sont les masses de ces points, \{, ■»(,, l{, \.2,..., \i, i\i, ?,-, les composantes de leurs vitesses suivant trois axes, le principe de la conservation du mouvement s'exprime par
N »«,»,- = consl., Vi étant
Or l'inexactitude de cette égalité est évidente. Pour s'en convaincre il suffit de remarquer que, si elle est vraie dans le mouvement absolu, elle cesse de l'être dans le mouvement
relatif, lorsque les axes sont animés d'un mouvement de translation (').
Modifié convenablement, le principe de Descartes est devenu un des principes importants de la mécanique: le principe des quantités de mouvement projetées. Il s'exprime par les relations
S\»nl, • = const.. Vm,-7ij = const., /,m£t — const.,
et s'énonce : la somme des projections sur un axe quelconque des quantités de mouvement d'un système (et non plus la
somme des quantités de mouvement elles-mêmes) , est constante. C'est à Huyghens qu'est due cette modification.
5. La force vive. — D'ailleurs, quoique faux, le principe de Descartes a une grande importance historique ; il a préparé et conduit Leibnitz à la considération de la force vive.
Gomme Descartes, et pour les mêmes raisons métaphysiques, Leibnitz admet que quelque chose doit rester invariable dans l'univers. Ayant remarqué que le carré de la vitesse d'un point pst la somme des carrés des composantes, il fait observer que le produit
mtv: — >«,;? -j- mpfi -\- mfâ
est la somme de trois produits analogues où entrent des vitesses ;,, t„-, £,- de directions arbitraires. Il en conclut que dans un système de points matériels, où les vitesses ont des
(') Descaries s'est bien aperçu que son principe n'est pas confirmé par l'expérience; on peut s'en assurer en lisant une remarque qui vient à la suite de sa théorie du choc des corps ; mais il croyait que l'accord serait rétabli si l'on tenait compte de la quanlilé de mouvement de l'éther
directions quelconques, c'e^t la somme V m, «f de ces
produits, la force vive, qu'il faut considérer et non, comme
le faisait Descartes, la somme V n%i r,-. Lcibnitz introduit en
outre ce qu'il appelle l'action motrice et l'action latente, et, pour lui, ce qui reste constant c'est l'action motrice, somme de la force vive et de l'action latente. Leibnitz était doac sur la voie de la découverte du principe de la conservation de l'énergie.
Il semble d'ailleurs que Leibnitz ait eu l'intuition de nos idées actuelles. En effet, suivant ce mathématicien, si l'action motrice paraît se perdre dans certains cas c'est que les mouvements sensibles sont transformés en mouvements moléculaires. On ne pouvait exprimer plus clairement l'hypothèse qui a été l'origine de la Théorie mécanique de la chaleur.
6. Le théorème des forces vives. — Les idées émises par Leibnitz ne tardèrent pas à être précisées; on en déduisit le théorème des forces vives.
Soient m-t, m.,,..., mt, les masses des points d'un système matériel; xt, y{,-.-, oe„ y,-, zit les coordonnées de ces points; Xr Y,,.... X,-, Y,-, Z,-, les composantes suivant les axes de la résultante de toutes les forces intérieures et extérieures qui agissent sur chacun des points. Les équations du mouvement de l'un deux sont
»i -^ - x„ (Pyt v
tPx,
La demi-force vive du système a pour valeur
En dérivant par rapport au temps, il vient
d\\> dl
' | cir- dt "*" diT- dt "i" dt* dl J
et, en remplaçant dans cette expression les dérivées secondes par rapport au temps par leurs valeurs tirées des équations du mouvement, on obtient
tfW VI (\ dXi U Y 'Jy< U 7 dz'
dt - 2jIa' -dl ■** ll W"1" ' 7^
ou
<W = 2(Xj^ + Y,<fy, + Z.tf*,).
Le second membre de cette égalité représente le travail de toutes les forces appliquées au système quand leurs points d'application subissent des déplacements infiniment petits. De là le théorème suivant: La variation de la demi-force vive d'un système est égale à la somme des travaux accomplis par toutes les forces du système pendant le déplacement considéré.
7. La conservation de l'énergie. — Bornons-nous au cas d'un système soumis seulement à des forces intérieures et supposons que ces forces admettent une fonction des forces, c'est-à-dire que X,. Y,,... soient les dérivées partielles par rapport aux coordonnées d'une même fonction — V de ces
coordonnées; nous avons alors
dxi dj/i dzi
liais V ne dépendant pas explicitement du temps, par hypothèse, sa dérivée par rapport à t est
d\ dt
2j\ÏÏx~ dt ^"dyt~di ~T"ch, ~dt) ' et par conséquent
dX = — ^Xtdxi + Yidyt -j- Z,rf^,-.
Il résulte de cette expression que la variation de la fonction des forces est égale, au signe près, à celle de la demi-force vive ; nous avons donc
dW -f- d\ = o.
et en intégrant
W-f Y= const.
La demi-force vive W d'un système étant appelée énergie cinétique ou actuelle du système ; la fonction des forces intérieures chargée de signe, V, étant son énergie potentielle ; enfin la somme de ces deux énergies, l'énergie ; totale la relation précédente exprime que l'énergie totale du système considéré est constante, c'est-à-dire qu'il y a conservation de l'énergie.
