T)-/- T-ST
par suite
r = f/QST/'(Tj.
En portant cette valeur de t dans L'égalité (5), nous avons
dQ dl f/Q f/T 1
dv dp dp dv f\T)
Ce résultat n'aurait aujourd'hui aucune signification , transformons-le en introduisant les chaleurs spécifiques. Des définitions de ces quantités (23 et 24) nous tirons
et
* ' dp dp
La relation (6) peut donc s'écrire
dp dy /•' iT)
46. Appliquons celte formule aux gaz parfaits. Pour ces corps
po = RT ; par suite
(JI 1 dT p
dp ~ R' SU — R*
et en portant ces valeurs des dérivées partielles de T dans (9) on obtient
La différence des chaleurs spécifiques d'un même gaz doit donc n'être fonction que de la température. On sait aujourd'hui que cette fonction se réduit à une constante.
De la relation (10) nous lirons
et, en portant cette valeur de c dans (8), nous avons
dQ dT dT
dp dp dp
ou, en tenant compte da la valeur précédemment trouvée
dT P°Ur dp'
dp dp R dp
Multiplions cette égalité par dp et ajoutons au produit ainsi obtenu celui des deux membres de l'égalité (7) par do ; nous obtenons
dQ , . rfQ , n dT , . „ dT . , -^ do 4- v5 dp = C — dv 4- G -r dp —Qvdp. dv ' dp l dv { dp
ou
(11) dQ = CdT — Qvdp.
Considérons le produit
R0dT = R6 (j£ dv
Si nous y remplaçons les dérivées partielles de T par leurs valeurs, nous avons
R0dT = Qpdv 4- Qvdp,
et, par conséquent en additionnant avec l'égalité (11),
dQ -f RQdT = CdT + &pdv.
Le premier membre est une différentielle exacte, car, d"une part, dQ en est une d'après l'hypothèse de la conservation du calorique, et, d'autre part, Rôc/T doit également l'être puisque ® est une fonction de T seulement ; par conséquent le second membre est une différentielle exacte. Nous avons donc, en prenant T et y comme variables indépendantes,
dG d&p
dv ~~ dl '
ou, en remplaçant p par la valeur tirée de la relation fondamentale,
dC R d@T dv v dT
Si nous intégrons par rapport à v nous obtenons
C = R^Log» + <p T.
47. Après avoir démontré cette formule, Carnol ajoute que les expériences semblent prouver que G est indépendant de la température. Considérant ces expériences comme peu probantes il ne chereba pas les conséquences de leur résultat. Il aurait pu cependant en déduire la valeur de la fonction
/■it(,t2).
En effet, si C est constant, la fonction sp (T) introduite par l'intégration doit se réduire à une constante et, de plus, on doit avoir
dm
^T -B' B étant aussi une constante. 11 résulte 0T = B T — T,, .
et, si on se reporte à l'expression que nous avons désignée par 0,
f (1 ~ B (T — To)
Par conséquent
et
/-(T)=|Log(T-T0).
On a donc pour la fonction de Carnot /(T,,T2)=/-(T,)-/-(T2) = ! [Log(T, -T0) - Log (Ta - T0)]
ou
r(T4,Ta)=|;Log|i-
Cette expression de la fonction, rigoureusement déduite des principes admis par Carnot, est inexacte. On sait aujourd'hui que cette fonction a pour expression
Quoiqu'il en soit de son exactitude elle aurait amené Carnot à découvrir la constance de la différence C — c. En effet si dans la formule (10) nous remplaçons f (T) par sa valeur (12) nous obtenons
^e = BT^i,
égalité dont le second membre se réduit à la constante B quand on suppose T0 = o.
48. Dernières idées de Sadi-Carnot. — Déjà, dans les dernières pages du mémoire dont nous venons d'esquisser les principales lignes, Carnot conçoit des doutes sur la légitimité de l'hypothèse de la conservation du calorique.
Parmi les raisons qui l'ont amené à ce doute les expériences de Rumford et de Davy sur le frottement tiennent probablement le premier rang. Mais des raisons d'une autre nature semblent aussi avoir contribué à ce changement d'idées.
A cette époque la discussion entre les partisans de la théorie de l'émission et les partisans de la. théorie des ondulations de la lumière était à sa période aiguë et les arguments de cesderniers commençaient à avoir une portée décisive pour le triomphe de la théorie qu'ils soutenaient. La lumière paraissait donc déjà devoir être considérée comme une manifestation du mouvement moléculaire. D'autre part, des expériences récentes montraient l'identité de la lumière et de la chaleur rayonnante; cette dernière devait donc également provenir d'un mouvement. Il devenait dès lors naturel de considérer l'état thermique d'un corps comme résultant du mouvement de ses molécules matérielles et de voir dans la chaleur une transformation des mouvements sensibles. D'ailleurs celte hypothèse n'était pas nouvelle; elle avait été introduite plus d'un siècle auparavant, mais sans aucune raison scientifique, par François Bacon et par Boyle, puis reprise plus tard par Euler. La théorie de Fresnel n'apportait donc, en réalité, qu'une confirmation partielle d'une hypothèse déjà ancienne.
49. Quoi qu'il en suit, quelque temps avant sa mort prématurée, Carnot possédait sur la chaleur des idées tout à fait conformes à nos idées actuelles. 11 les consigna dans des notes manuscrites qui restèrent ignorées jusqu'en 1871 ; leur lecture ne laisse aucun doute sur l'importance des progrès qui seraient résultés d'une publication plus hâtive.
Nous y trouvons en effet :
« La chaleur n'est autre chose que la puissance motrice, ou plutôt que le mouvement qui a changé de forme. C'est un mouvement dans les particules du corps. Partout où il y a production de force motrice, il y a en même temps production de chaleur en quantité précisément proportionnelle à la quantité de puissance motrice détruite. Réciproquement: partout où il y a destruction de chaleur, il y a production de puissance motrice, » et, « on peut poser en thèse générale que la puissance motrice est en quantité invariable dans la nature ; qu'elle n'e?t jamais, à. proprement parler, produite ou détruite. A la vérité, elle change de forme, c'est-à-dire qu'elle produit tantôt un genre de mouvement, tantôt un autre, mais elle n'est jamais anéantie. »
Pouvait-on exprimer d'une manière plus claire et plus précise le principe de la conservation de l'énergie?
Carnot donne même le nombre exprimant le nombre d'unilés de chaleur correspondant à l'unité de puissance motrice: la production de 1 unité de puissance (1.000 kilogrammes élevés à 1 mètre) nécessite la destruction de 2,70 unités de chaleur. De ces nombres on déduit 370 pour l'équivalent mécanique de la chaleur.
Carnot ne dit pas comment il est parvenu au nombre qu'il indique pour l'équivalent calorifique de la puissance motrice.
Il est cependant probable qu'il l'a déduit des chaleurs spécifiques des gaz. Si on fait le calcul en prenant pour G et c les valeurs admises à l'époque, on trouve en effet le nombre de Carnot. C'est aussi ce même nombre que Mayer obtint quinze ans plus tard par celle méthode.
