XX

' Xl/i

PyI,

les composantes suivant les trois axes des pressions par unité de surface qui s'exercent sur trois faces issues d'un même sommet A et normales : la première à l'axe des x, la seconde à l'axe des y, la troisième à l'axe des z. La théorie de l'élasticité apprend que le tableau de ces neuf quantités est symétrique par rapport à sa diagonale; en d'autres termes, que ces neuf quantités se réduisent à six.

Supposons que le parallélipipède subisse une déformation et évaluons le travail des pressions qui s'exercent sur toutes ses faces.

Les coordonnées x, y, z du point A deviennent après la déformation

par conséquent le travail de la pression sur la face normale à l'axe des x et passant par A est

(Px*Ç + P*^ + p*=0^*-

Les coordonnées du point correspondant à A sur la face opposée du parallélipipède sont, avant la déformation, x -f- dx, y, z; et, après la déformation,

• + * + * + £*, y+i+â.«to,, + ç+|;*.;

le travail de la pression sur cette face est donc

La somme de ces travaux est

+ PH/S+ Vx-f\dœdydz.

dx ' " ** dx ' ' x-~ dx)

Nous obtiendrons deux autres expressions analogues pour les faces perpendiculaires aux axes des y et des «.

Additionnons ces trois expressions et remplaçons le produit dxdydz par son égal vdm, v étant le volume spécifique au point A et dm la masse du parallélipipède, nous avons

rP ^4-p ^4-p ^i + p (chjL.û\

L dx + '"" dy + " de + P'y [dx + dy)

L'intégrale de celte expression étendue à l'espace occupé par le corps donnera le travail total des forces extérieures pendant la déformation.

Remarquons que si le corps est isotrope, on a

"xx — "yy = "zz = Pi

i xy — — * x: — .V- — ^ '

par conséquent l'expression précédente du travail des forces extérieures se réduit alors à

(<K tfl, dl\ .

-p(âc + diï + cû)vdm

— p — vdm = ■ — pdvdm

Nous retrouvons donc, comme au ij 64, — pdv pour le travail des forces extérieures rapportées à l'unité de masse.

85. Mais, quoique dans le cas des solides l'expression du travail soit plus complexe que dans le cas d'un fluide en équilibre, le principe de la conservation de l'énergie n'en est pas moins vérifié. L'expérience montre en effet que, si le solide s'échauffe par suite de la déformation, la variation d'énergie interne résultant de cet échaufferaient est égale au travail des forces extérieures pendant la déformation.

Ainsi prenons l'expérience d'Edlund. Un fil métallique vertical maintenu par son extrémité supérieure est d'abord étiré par une force p agissant à son extrémité inférieure ; il est ensuite ramené à sa longueur primitive en supprimant l'action de celte force. Si s est l'allongement du fil pendant la première phase de l'expérience, le travail des forces extérieures est pt. Pendant celte phase, le fil se refroidit par suite de l'allongement ; pendant la phase suivante, il s'échauffe. De ces deux phases résulte un échaufferaient. Dans une troisième phase le fil se refroidit en cédant de la chaleur à l'extérieur •par conductibilité et revient ainsi à son état primitif, sa température et sa longueur élant redevenues les mêmes. La quantité de chaleur 8Q ainsi cédée à l'extérieur a pour valeur «ST,

a étant la capacité calorifique du fil que l'on déduit de ses dimensions et de sa chaleur spécifique et ST l'excès de la température à la fin de la seconde phase sur la température initiale, excès qui est mesuré au moyen d'une pince thermoélectrique. Le fil ayant décrit un cycle fermé, on doit avoir

ESQ =ps.

C'est ce qui a lieu, car si on calcule E au moyen de cette relation, on trouve des nombres très voisins de ceux de Joule et M. Rovland ; pour le laiton, par exemple, on a 428,3.

On remarquera que dans cette expérience nous sommes placés dans un cas où la pression n'est pas la même dans tous les sens. Un élément de volume du fil est soumis en effet à une tension considérable dans le sens vertical et à une pression sensiblement nulle dans le sens horizontal.

86. Cas des fluides pesants en mouvement. — Dans ce cas la pression en un point a la même valeur, quelle que soit la direction de l'élément sur laquelle elle s'exerce; mais elle n'est pas la même en tout point du fluide.

Soit p la valeur de cette pression sur un élément de la surface du tluide; a. p, y, les cosinus directeurs du segment de la normale à cet élément extérieur au fluide. Soient x, y, z les coordonnées du centre de gravité de l'élément au temps l ; x -L- ;, y -f- 7|, z -f- Ç, les coordonnées de ce même centre de gravité au temps t -\- dt, de sorte que

\ = —r dt , etc.

Le travail des pressions extérieures sur cet élément est - pd« («g + fa + YÇ),

lOi THERMODYNAMIQUE

et le travail de ces forces sur toute la surface du fluide,

d~. = —fp (a; + St, + TQ do>.

En appelant dq la quantité de chaleur reçue de l'extérieur, par conductibilité ou rayonnement, par l'unité de masse du fluide, la quantité dQ reçue par le fluide tout entier est

(1) dQ —jdqdm,

dm étant la masse d'un élément de volume.

De même en désignant par u l'énergie interne rapportée à l'unité de masse, nous avons pour l'énergie interne U de tout le fluide

udm .

Les forces extérieures sont de deux sortes :

1° Les pressions extérieures dont le travail di a été évalué plus haut ;

2° La pesanteur dont le travail — d\ est la différentielle d'un certain potentiel V qu'il nous reste à évaluer.

On en obtiendra la valeur, à une constante près, en multipliant le poids du fluide par la distance de son centre de gravité au plan des xy supposé horizontal ; par conséquent

V — Cgzdm.

Enfin l'énergie cinétique sensible a pour expression . Çàm t<W d£ , d*\

" I 2 \,//' ^ c/r- "*" dt'J

87. Écrivons les équations tlu mouvement du fluide. Si le fluide était en repos, nous aurions, d'après les équations fondamentales de l'hydrostatique,

dp dp dp

^=PX> rf£-PY' ^=PZ-

Xdm, Xdm, Zdm étant les composantes suivant les axes des forces extérieures agissant sur l'élément dm. Par conséquent les équations du mouvement seront, d'après le principe de d'Alembert

dp v dhc

dp d-y

â, = PY - P ^2

dp d2z

d~;=?Z-?dï

ou en remplaçant p par -et remarquant que, le fluide n étant soumisqu'àl'actionde la pesanteur, X= Y = o, rLdm = — gdm,

dp dPoo

dx dl-

dp d2y

■ dy~ d?'

dp d?z " dz ~ dC- g-

88. Au moyen de ces équations transformons l'expression du travail dx des forces extérieures.

Appliquons la relation connue

r I dF

J aFf/w = / Zv *

en y faisant successivement F égalp;, prj, pÇ; nous obtenons, en remplaçant dans les intégrales triples <h par vdm,

fzpîcho =j l g vdm +J P JJ vdfn, J pp-^dûi = / r, ^ «7/« + I P^ odm> JypKdiù = j l ■£ odm j- I y^ orfm ;

et par suite

cfr =

puisque

rf; . ûfy , rfÇ efo

f/.i' (i?)/ dz v

Si maintenant nous remplaçons les dérivées partielles de p par leurs valeurs déduites des équations du mouvement, nous aurons

<*> d^J{^+^^dl)dm+I^dm-I^vdm