CIO
La chaleur rendue au condenseur esl Q2 = 560 (1 — x),
x élanl la fraction de la masse qui est à l'état de gouttelettes liquides disséminées dans la vapeur au commencement de l'échappement ; cette fraction est d'environ 0,1 quand il n'y a pas de chemise de vapeur. Nous avons donc
Q2 = 560 1 —0,1) = 504 et par suite
Q, — Qo 010 — 504 106 Q, (510 — 610
Quand on emploie une chemise de vapeur, la vapeur du cylindre reste sèche ; par suite x est nul et
Mais, pour empêcher la condensation de la vapeur, la chemise a dû céder de la chaleur, ce qui a provoqué la condensation d'une portion de la vapeur qu'elle contient ; on évalue à 0,2 environ de la quantité totale employée par coup de piston la quantité de vapeur ainsi condensée. La quantité de chaleur Q, est donc
on en conclut
Le rendement se trouve donc élevé par l'emploi de la chemise de vapeur.
243. Les mêmes considérations expliquent l'effet avantageux de la surchauffe. La surchauffe agil comme la chemise de vapeur en empêchant la condensation de la vapeur sur les parois du cylindre. Mais la surchauffe n'est pas aussi universellement employée que la chemise de vapeur. D'ailleurs elle est toujours légère et elle a surtout pour but de vaporiser, avant leur entrée dans le cylindre, les gouttelettes liquides que la vapeur entraîne en sortant de la chaudière ; elle sert donc plutôt à sécher la vapeur qu'à élever sa température.
244. Machines cbmpound et machines Corliss. — Mon but n'étant pas de fairp une théorie des machines à vapeur, mais d'illustrer par des exemples variés les principes de la thermodynamique, je n'insisterai pas sur les machines des types les plus récents tels que les machines compound et Corliss.
Dans les premières, la vapeur, après avoir agi dans un premier cylindre et s'y être en partie détendue, passe dans un second cylindre de plus grande capacité où elle se détend de nouveau en agissant sur un piston. Généralement la vapeur se rend ensuite dans le condenseur, mais quelquefois elle se détend encore dans un troisième cylindre avant de se condenser ; la machine est alors dite à triple expansion.
L'avantage de ce système est double; la détente peut être poussée plus loin sans que l'effort moteur subisse de trop grandes variations pendant un coup de piston et sans qu'on soit obligé d'employer des volants trop lourds.
Mais, en outre, et cela est beaucoup plus important, la température des parois de chacun des cylindres oscille non plus entre T, et T2 mais entre des limites plus étroites ; lesconden-
sations à l'admission et les revaporisations pendant la délente et l'échappement, ainsi que les pertes de rendement qui en résultent, se trouvent beaucoup diminuées.
245. Injecteur Giffard. — Pendant longtemps l'alimentation des chaudières s'est faite au moyen de pompes, dites pompes alimentaires, mues par la machine elle-même ; ces pompes puisent dans une bâche l'ea.u d'évacuation du condenseur et la font pénétrer sous pression dans la chaudière. Aujourd'hui l'alimentation de la chaudière se fait le plus souvent pa< Y injecteur Uiffard.
Sans entrer dans la description complète de cet appareil rappelons les parties essentielles qui le composent : un tuyau amène un jet de vapeur dans une boite où débouche un tuyau d'aspiration plongeant dans la bâche d'emmagasinement de l'eau d'alimentation ; un troisième tuyau, appelé tuyau de refoulement, amène l'eau dans la chaudière.
Son fonctionnement s'explique difficilement. Puisque l'eau de la bâche est aspirée, la pression dans la boite de raccordement des trois tuyaux est nécessairement plus petite que la pression atmosphérique. Comment alors l'eau peut-elle pénétrerdansla chaudière où la pression est beaucoup plus grande?
Je crois que la théorie complète de cet appareil est encore à faire et je n'ai pas la prétention d'en donner une. L'analyse qui va suivre est extrêmement grossière et a seulement pour but de montrer que la thermodynamique permet d'expliquer le paradoxe.
246. Supposons le régime permanent établi dans l'appareil. L'équation
1) *— = const.
que nous avons trouvée au § 132 en étudiant l'écoulement des tluides est, à chaque instant, applicable aux diverses sections d'un même tube ; u> désigne la surface d'une de ces sections, y la vitesse du fluide en un de leurs points, v le volume spécifique qui correspond à ce môme point.
L'application du principe de la conservation de l'énergie nous a donné entre ces quantités et l'énergie interne U de l'unité de masse une nouvelle relation; celle-ci se réduit à
(2) EU + -Jr -4- pv = const.
dans le cas d'un fluide non pesant et lorsqu'on suppose qu'il n'y a pas de chaleur empruntée ou fournie à l'extérieur (137) Celte dernière relation sera donc applicable à toutes les sections d'un niéme tube de l'injecteur si nous négligeons l'action de la pesanteur sur le fluide qui y circule, vapeur, eau, mélange d'eau et de vapeur, et si nous admettons qu'il n'y a pas de perte de chaleur par rayonnement.
Examinions ce que deviennent ces relations (1) et (2) lorsque les sections considérées n'appartiennent plus au même tube.
247. Soient A0B0, A,B( et A^B, {fîg. 37) les sections des trois tubes qui comprennent entre elles une masse égale à l'unité à l'instant t. Un temps dt après, cette même masse sera limitée parles sections A^Bq, A(B,', AjBj. En désignant par dm0, dm-i, dm2 les masses des tluides qui occupent les volumes élémentaires A0B0A^BÔ, A, B, A ,'B,', AjBoA^Bj, nous avons dm., = dm0 -|- dmv
Mais le volume A2B2Â2Bo a pour valeur w.2y2dt\ par suite
la masse du fluide qu'il renferme est
(o ., m , dl
dm ., =
Les misses dm0 et dmt peuvent s'écrire d'une manière ana-
logue et, si nous portons ces expressions dans l'égalité précédente, nous obtenons
C0J?2 Mll?0 | Ml?l
pour la relation qui remplace (1 .
Appliquons maintenant le principe de la conservation de l'énergie ; il nous fournit la relation générale
i;,/i j f d~. = EdV 4- rfW.
Mais dQ = o puisque nous supposons qu'il n'y a pas de perte de chaleur par rayonnement ; cette relation se réduit doncà
dt = Ef/U -f </W.
La variation de l'énergie interne est égale à l'énergie de la masse dm., diminuée de la somme des énergies des masses
dm0 et dmt, car l'énergie interne de la niasse comprise entre les sections A„Bô et A(B< et la section A2B2 est la même aux instants telt-{-df, le régime permanent étant supposé établi; par conséquent, en appelant (J0,U|,U2les valeurs de l'énergie interne rapportée à l'unité de masse aux trois sections considérées, nous avons
d\J = \J2dm2 — U0dm0 — U, </«(,.
La même remarque s 'appliquant à la variation de l'énergie cinétique, celle variation a pour valeur
dW = dm3 *J - dm0 ^ - dm, §
Pour évaluer le travail dt fourni au fluide pendant le temps dl appelons p„, p(,p3 les valeurs des pressions aux trois sections ci msidérées ; nous avons alors
dr = — p3(o3(f3dt -\- puia0y{)dt -f- piwi^tdt, OU
dj = — p2v2dm2 -f- Povudm0 -f- p,u,rfm,.
Portons ces valeurs de rfU, dVf et dr dans la relation fournie par le principe de la conservation de l'énergie; il vient
(EU2 -f $+Pi»i\*Wi
=(KU0 + ^ -f Po*o)«K> + (EU, + ^ +*,«,)*»,.
Telle est la relation qui remplace la relation (2) dans le cas
où plusieurs tubes se branchent l'un sur l'autre. Si nous la divisons par Edm.2 et si nous posons
dm{ = yxlm 3 elle devient
(4) D. + AÇ + A^t»,
= ( l - a) (U0 -f  | + Ap0»0) + ;, (U, + A ^ + Ajw)-
248. Appliquons cette formule à i'injecteur Giffard en admeltant que le tube C, soit le tuyau de prise de vapeur, C0 le tuyau d'aspiration et C2 le tuyau de refoulement.
L'unité de masse considérée dans la démonstration de la formule étant arbitraire les positions des sections qui la limitent sont quelconques; nous pouvons donc supposer que A0B0 est situé dans la bâche, A , B , dans la partie de la chaudière occupée par la vapeur, et A2B2 dans la partie de la chaudière occupée par l'eau. Dans ces conditions les carrés des vitesses <p0 et tp, peuvent être négligés; en oulre p{ et p2 ont pour valeur commune la pression p{ delà chaudière et p0 est égale à celle de l'atmosphère.
Quant à l'énergie interne, nous en avons trouvé la valeur pour le cas d'un système formé par un liquide et sa vapeur saturée (109) ; cette valeur est
U = Lm -\- GT — Apm (<f — X).
Dans le tuyau d'aspiration le fluide en mouvement est de l'eau, par conséquent m, qui représente la fraction de la masse qui efct à l'état de vapeur, est nul et C est égale à 1 ; nous avons
donc
T0 étant la température de l'eau d'alimentation.
Dans le tuyau de prise de vapeur on a m =: 1 ; C étant toujours égal à l'unité, l'énergie interne U, est
U4 = L + T, - Ap, (a - X).
Enfin dans le tuyau de refoulement on a un mélange d'eau et de vapeur; m a donc une valeur, d'ailleurs inconnue, comprise entre 0 et 1. La température est celle de la chaudière T, ; par conséquent
U2 = Lm — f— T, — Aj),»i (<j — X).
Il ne reste qu'à exprimer v0, vt et o3 au moyen de <j et X. Dans le tuyau d'aspiration le volume spécifique v0 est celui du liquide X; dans celui de prise de vapeur ce volume esta ; dans le tuyau de refoulement
y., = mi + (1 — m) 1.
Nous avons donc en remplaçant par ces valeurs les quantités qui figurent dans la formule (4)
Lm -f- T, — kp{m (<r — X) + A ■** + Ap,>»<j-f Ap{ (1 — m)X = (1 - \f) (To + Ap0X) + a [L-f T, -XPl («- X) + A?,.], ou
L (m - u) + A *1 = (1 - :,) (T0 - T, + Ap0X - A^X}, Or A -^ est un terme essentiellement positif; par consé-
quent si nous le supprimons le premier membre de l'égalité précédente devient plus petit que le second, c'est-à-dire
L [m - p) < (i - a) (T0 - Ti -f- kPoX - \P{1).
Mais/), est plus grand que p9; Xpl — -V,X est donc une quantité négative; par suite nous pouvons, sans changer le sens de l'inégalité, supprimer cette différence si nous voulons trouver les conditions nécessaires du fonctionnement de l'appareil ; nous avons donc
(5) L ■;,»-,.)< (1-uHTo-T,).
249. Une seconde inégalité nous est fournie par le principe de Carnot.
Considérons une masse \x. de vapeur dans le tuyau de prise de vapeur et une masse 1 — <j. d'eau dans le tuyau d'aspiration ; leur réunion donne une masse 1 dans le tuyau de refoulement. Appelons S0, S,, S2 les entropies, rapportées à l'unité de masse, des fluides contenus dans ces trois tuyaux. L'entrop ie du système formé par la masse ;/. de vapeur et la masse 1 — y. de liquide est
quand ces masses sont séparées, et S2 quand par leur réunion elles forment le mélange d'eau et de vapeur contenu dans le tuyau de refoulement. La variation d'entropie est donc
S2 — (1 ■ — [)■) S0 — aS
Or, d'après une conséquence du théorème de Clausius généréalisé, la variation d'entropie est plus grande que la valeur de
. tfQ , .
1 intégrale I I -=- où une des intégrations se rapporte au
cycle et l'autre au volume du système et où dQ peut avoir deux significations ( 188).
Dans le cas qui nous occupe, il n'y a par hypothèse ni chaleur empruntée, ni chaleur fournie à l'extérieur; mais nous tiendrons compte des échanges intérieurs.
Il est clair que la variation d'entropie restera plus grande
que I / "t" al°rs même que nous ne tiendrons compte
dans celte intégrale que de quelques-uns des échanges qui se produisent réellement. On a, en effet, pour un quelconque de ces échanges, ainsi que nous l'avons fait remarquer bien des fois,
Nous tiend-rons compte seulement de l'échange considérable qui se produit au contact de la vapeur arrivant par le tube de prise de vapeur etde l'eau arrivant par le tube d'aspiration. Celte vapeur déjà refroidie par la détente qu'elle a subie, se trouve à une température T., inférieure à T(. L'eau est à la température T0: au contact de la vapeur sa température s'élève progressivement jusqu'à Ta. La vapeur, au contraire, en cédant de la chaleur à l'eau, reste très sensiblement à la température T2, mais se condense partiellement.
Pour une variation de température dT la quantité de chaleur absorbée par l'eau est y?Q = (l — u.) dT, puisque la chaleur spécifique est très sensiblement l'unité et que la masse à
chauffer est I — a. Cette chaleur e'tant fournie parla vapeur, la chaleur dQ relative à celte substance est
dQ = — (1 — (x)rfT;
nous avons donc
d'où :
dQ . T, T., — Tn
Y = (i — y) Log r-p — (i — [*) -^ •
Par conséquent nous devons avoir
6 S2-;l-:.)S0-aS( >(I,x)Log^-(l-a),^f-i. 250. Pour calculer S„, S, et S2 appliquons la formule
S = — /«-(- C Log T
que nous avons trouvée (169 ) pour l'entropie d'un système formé d'une masse (1 — m) de liquide et d'une masse m de vapeur saturée ; ici nous avons C = 1 puisqu'il s'agit de l'eau. La valeur de S0 s'obtient en faisant m =o, le tuyau d'aspiration ne contenant pas de vapeur, et en faisant T = T0; par suite
S0 = Log T0.
Celle de S, s'obtient en faisant T = T, et m = 1, le tuyau
C, ne contenant que de la vapeur: par conséquent
S.^+LogT,.
Enfin, dans le tuyau de refoulement nous avons un mélange d'eau et de vapeur et
S1=^»+LogT1.
L'inégalité (6) devient, lorsqu'on y remplace S0, S, et S3 par ces valeurs,
r— m + Log T, — 1 — <j.) Log T0
y.(~+LogTl)> (1- ^) (Log
T., T, - Tn
ou
LJa^zA > (1 ,x) (Log T2 Log T| + |j i
En comparant cette inégalité à l'inégalité (5) on en tire la suivante
T, (Log |« +^-i) :T0-T,
(r^-l)<T, Log|i.
Telle est la condition de fonctionnement de l'appareil.
251. Cette nouvelle inégalité permet de calculer une limite supérieure deT0. En effet, pour que l'aspiration puisse se pro-
3 8 THEUMODYNAMIQUE
duire, il faut que la pression au point Je branchement des trois tuyaux soit inférieure à la pression atmosphérique et par conséquent que T2 soit plus petit que 100°; on trouve ainsi 100° environ pour les machines à moyenne pression. Cette valeur est bien supérieure à celle que l'on doit adopter en pratique, 20° environ, pour que l'injecteur puisse fonctionner : cette différence provient des approximations très grossières que nous avons faites, et toujours clans le même sens, dans l'établissement de l'inégalité (7) et principalement de ce que nous avons négligé les termes contenant les carrés des vitesses; en outre, nous avons négligé les pertes de chaleur par rayonnement et nous n'avons pas tenu compte du travail considérable transformé en chaleur par les frottements des fluides contre les parois. Une théorie dans laquelle entreraient toutes ces qualités donnerait certainement une valeur de T0 beaucoup plus approchée de la valeur réelle, mais l'établissement de cette théorie présenterait des dilïicultés presque insurmontables.
Quelque grossière que soit d'ailleurs cette analyse, elle suffit pour montrer que le paradoxe n'est qu'apparent, que le fonctionnement de l'appareil n'est pas contraire aux principes de la thermodynamique et qu'il doit devenir impossible si T0 dépasse une certaine limite ; mais on ne pourrait guère, sans des calculs beaucoup plus longs, se rendre compte de la valeur de celte limite. Une remarque importante reste à faire.
La théorie que nous avons donnée suppose le régime permanent établi; elle nous apprend comment ce régime peut continuer à se produire, mais elle ne rend nullement compte de la manière dont ce régime s'établit ; elle présente donc
une nouvelle lacune qu'il serait difficile de combler. Toutefois on peut s'expliquer l'aspiration de l'eau d'alimentation par un effet de la contraction de la veine de vapeur à la sortie du tuyau de prise. Il faut en effet que l'orifice de sortie de ce tuyau soit très étroit, surtout au moment de l'amorcemenl de l'appareil; c'est dans ce but qu'on le termine en cône suivant l'axe duquel peut se mouvoir une lige conique appelée aiguille; en déplaçant cette aiguille le long de l'axe on rétrécit ou on augmente l'ouverture de l'ajutage de sortie.
