PREMIERE PARTIE
Le but que noos nous proposons dans eelie première partie, est de mootrer comment on peut donna" one représentation géoméiiiqae , des fonctions de Tariables imaginaires.
Le mode de représentation dont fl s*a|rit ici ne s apf^qœ qu'aux fonctions monodromes et monogènes dans toute l'éleodoe du plan ; ainsi dans tout ce qui Ta soiTre , quand nous parlenms d^une fonction de Tariable imaginaire , H sera sous-dtendu qu'die est monodrome et mono^ne.
« Dés Tannée 1805 , MM. Tabbé Buée et Argand , en parlant de celte idée qoe y/ — 1 est un signe de perpendieolarité , avaient donné des CApiCKtfoos imaginaires une interprétation gécmétrique contre bqadk d» objections spédeoses toA éié proposées. Plus tard, M. Âigand et d'autres auteurs , particnliérenient MM. Français, Faure , Mourey , Vallès , etc., ont publié des reefaerebes qui aTaienC pov bot de déYclopper ou de modifier Imterprélation dont il s'^l. » (Cancfaj, Mémoire ar les quantités géométriques, Ex. d'analyse etdephys. malh., tome IT, page 157).
« Une grande partie de ces recherches avait été, à ce quH parait, obieiiiie même avant le siècle présent « et dès lanoée 17â6, par on savant modeste, M. Bemi- Dominique Truel, qui, ai^és les avoir consignés dans divers manuscrits, les a communiqués , vers Tannée 1810 , à M. Augustin Normand , constmcieiir de vaisseaux au Havre. » (US)
Cancfaj, dans ses nombreux et savants mémoires, a considérablement dcvc-
__ 4 — loppé les idées des géomèlres qui viennent d'être cités. Menant l'imaginaire x-{-y V/— 1 sous la forme r (cos o -}-\/ — 1 sin o) , il la représenta tanlôt par le point dont les coordonnées rectangulaires étaient œ ei y , tantôt par la droite de longueur r faisant dans un plan fixe , avec un axe fixe , l'angle e .
Une imaginaire contenant en réalité deux quantités réelles, se représentait facilement à l'aide des deux coordonnées , rectilignes ou polaires d'un point ; mais les variations d'une pareille quantité , se comparaient difficilement à ceux d'une quantité de même espèce. Pour rendre celte comparaison sensible à l'œil , il eût fallu quatre coordonnées pour un même point dans l'espace.
Voici comment on a fait pour sauver celte difficulté : désignant par X + Y \/— 1 une fonction de x-\-y\/ — 1, on a considéré X et Y comme les ordonnées d'une surface dont x ely étaient les deux autres coordonnées. Les propriétés de ces surfaces ont été étudiées par M. Proulietdans une note insérée à la suite du Traité d'analyse de Sturm.
Nous allons essayer, dans ce qui va suivre, de donner une représentation géométrique d'une fonction de x-\-y\/ — 1 à l'aide d'une seule surface, dont nous étudierons les principales propriétés.
Afin de simplifier le langage, nous a^^eWavons courbes d'égal module, courbes d'égal argument de la fonction monodrome et monogène fi^)-, les lieux des points où cette fonction a un module constant , un argument constant.
Nous appellerons surface représentative de f(z), ou simplement swr/ace rfe /'(^), la surface obtenue en élevant en chaque point du plan une ordonnée perpendiculaire et égale au module de la fonction f{z) en ce point.
D'après cela , il est facile de voir que les courbes d'égal module ne sont autre chose que les lignes de niveau de la surface de /'(s^).
La surface de f (x) ne définit pas entièrement cette fonction , et en effet deux fonctions dont le rapport est une expression réduite, ont nécessairement même surface; mais réciproquement deux fonctions ayant même surface, ne peuvent différer que par un facteur constant qui est une expression réduite. Car puisque les deux fonctions en question ont même surface , elles ont même module en chaque point du plan.
Leur rapport a donc pour module l'unité ; ce rapport ne pouvant donc devenir infini pour aucune valeur de z , est une constante. Ce qui démontre le fait que nous avions annoncé.
De là nous concluons qu'une fonction f {z) monodrome et nionogène est entièrement déterminée, quand on connaît sa surface et son argument en un point quelconque du plan.
L'équation générale des courbes d'égal module de la fonction monodrome ei monogène /"(sr) , est de la forme :
Mod. f{z) = i.
s désignant une constante arbitraire. Cette équation équivaut à la suivante dans laquelle t désigne un arc réel :
Soit « un zéro de f(z), posons
h désignant une quantité assez voisine de 0 pour que dans le cercle de rayon a h , ayant son centre en «, il n'y ait ni zéro ni infini de f{z). On aura en vertu d'un théorème de Cauchy :
/'(oc+/o = /(oc)+/*r(«) + ^r(o+
Mais en supposant Ji infiniment petit , et en ne conservant que les termes du premier ordre , f {x) étant nul , on a :
c'est-à-dire seV-l= /^f (^ ) ;
d'où l'on lire h =^ « ~F77)~
Celle équation montre que le module de h reste sensiblement constant lorsque r varie. En d'autres termes , les courbes d'égal module correspondant à des valeurs infiniment petites du module de la fonction , soyit des cercles.
Si /"'(a) était nul, cette démonstration tomberait en défaut ; mais il serait facile de la rétablir en prenant un terme de plus dans la série de Taylor.
Les courbes d'égal module , correspondant à des valeurs infinies de f (z), sont encore des cercles, car ces courbes sont celles qui correspondent aux zéros
de -jr-'.'
Soient «1, «j... «„,... les zéros de f(z), ^^, /s^... ^„... ses infinis; si Ton suppose d'abord s = 0, les courbes d'égal module se réduisent à des points isolés , «1, «Ï-- «m ••' P"'^ ^ croissant , elles deviennent d'abord de petits cercles, se modifient peu à peu et finissent par se rencontrer en donnant naissance à des nœuds ; les variations de forme que l'on obtient ainsi sont analogues à celles d'une lemniscate dont les foyers restent fixes. (La lemniscate, comme nous le verrons plus loin , est la courbe d'égal module des fonctions entières du second degré.)
Avant d'aller plus loin , rappelons un théorème de Cauchy sur les fonctions monogènes, avec sa démonstration, afin de signaler un cas dans lequel ce théorème tombe en défaut. Posons :
Si l'on suppose que f(^z^ soit monogène, on a , en vertu d'un théorème connu :
dX __ dY dx dy
dX dy
or, on a :
dX'-\-dY
dX\
— (^ ~ \dx/
^ \dx/
dY dx
dX dX
dx dy
dY dï
dx- dy
dy
dy-
dx''-^-^ + 2 c'est-à-dire , en vertu des équations précédentes :
Cette équation montre que les carrés des arcs élémenlaires décrits par le point X + Yy/— 1 et le pointa; -}^\/— 1, c'est-à-dire par le point /(z) et le point z , sont proportionnels quelle que soit la direction dans laquelle se meut le point z ; Cauchy en a conclu la similitude de deux triangles infinitésimaux décrits simultanément par le point z et le point f(z), de là ce théorème :
Si le point z décrit deux lignes qui se coupent , f (' z) décrira deux courbes qui se couperont sous le même angle. Ce théorème tombe évidemment en défaut quand, au point d'intersection des courbes décrites par le point 2^ , on a :
dX ç, dX ^
dx dy
et par suite, en vertu des relations (1),
dx a y
c'est-à-dire /"' (2-) == 0.
Du théorème précédent , il résulte que les courbes d'égal argument de la fonction f(z) sont les trajectoires orthogonales des courbes d'égal module de la même fonction; en effet, quand la variable décrit les courbes d'égal module, la fonction décrit un cercle dont le centre est à l'origine ; quand la variable décrit les courbes d'égal argument, la fonction décrit des droites passant par l'origine; dans ces deux cas la fonction décrivant des lignes orthogonales , la variable doit en décrire également.
Il n'y aura d'exceplion à cette règle qu'aux points où l'on aura /"' (2^) = 0, nous verrons que ces points sont les noeuds des courbes d'égal module.
H résulte de là que les courbes d'égal argument sont les projections des lignes de pente de la surface de ((z).
Les courbes d'égal argument passent toutes par les zéros et les infinis de f(z). Car en ces points l'argument de f{z) est complètement arbitraire , en vertu du théorème § 4, les diverses branches de courbe d'égal argument passant par un zéro simple ou un infini simple de f(z), feront entre elles, en ces points , des angles égaux aux différences des arguments de la fonction. En un zéro double ceci n'aurait plus lieu comme on peut le constater sur la fonction z"^ ; car en ce point, on aurait f'(z)=0.
Proposons-nous acluellement de trouver réqualion de la surface de f{z)\ à cet effet , posons
M sera l'ordonnée de la surface cherchée , x , y ses deux autres coordonnées ;
pour trouver son équation , il faut exprimer que la fonction ue " ^~" ^ est monogène ; or, on a :
dx + dy \r-[ ^^ f. ^y yzj
pour que f(z) soit monogène, il faut que le second membre de cette équation
soit indépendant du rapport -p , ce qui donne la relation
^^ I 1/ r d'.^ 1 /du . ./ — 7 d^\
T--rV— 1 w -7-= . ( -r 4- V — 1 « T- ) da? ' ^ dx ^ZTÏ ^dy^ dy/
qui se décompose en deux autres ;
du rf'-O ^
dx dx I
du d'-o ( ^ '^*
dy dx I
Ces équations peuvent s'écrire :
1 du d'jù
u dx dy
i du d-o
u dy dx
si alors on différentie la première par rapport à a;, la seconde par rapport à y , et si l'on ajoute , il vient :
d /l du\ , d /i du\ __ dx ^u dx/ ' dy ^u dy/ ~~ '
Telle est l'équation de la surface cherchée, telle est l'équation à laquelle doit satisfaire une fonction u pour être module de fonction monogène. Si dans cette équation on vient à faire : \u zr^ v,
il vient: ^ + ^ = 0 CB^
dx^ ^ dy^ ^ ^^^'
Cette équation est l'équation différentielle d'une surface obtenue en élevant en chaque point du plan une ordonnée égale au logarithme du module de f(z) en ce point; nous l'appellerons la seconde surface représentative de f (z) y ou simplement la seconde surface de f (z). Les lignes de niveau et de pente de cette seconde surface ont encore pour projections les lignes d'égal module et d'éga argument de f{z').
Au lieu d'éliminer w entre les équations (A) on aurait pu éliminer t< en différentiant les mêmes équations que tout à l'heure, seulement en différenliant la première par rapport à ?/, la seconde par rapport à a; et en retranchant. On trouve ainsi :
dx^ dy'^ Telle est la condition que doit remplir une fonction w pour être argument d'une fonction monogène.
La considération des surfaces représentatives de la fonction /'(-?), facilite la discussion des courbes d'égal module et d'égal argument, comme nous allons voir.
Nous avons vu § 3 , que les courbes d'égal module en se déformant peu à peu , finissaient par se rencontrer, ce qui donnait lieu à des nœuds. En ces points,
on a -r^ = - , ou bien , si l'on se rappelle que :
u = constante
est l'équation des courbes d'égal module :
du ^ du ^
dx dy '
c'est-à-dire : du =0.
Cette relation prouve que , dans le voisinage du nœud , le module u prend un accroissement du second ordre quand z en prend un du premier ; f{z) dans les mêmes circonstances prendra un accroissement du môme ordre que son module ; donc , au nœud , on a :
df(z)=:0 ou f'(z) = 0,
donc les nœuds sont les zéros de la dérivée de f{z).
Lorsqu'une courbe d'égal module a un nœud , les tangentes au nœud partagent le flan en parties égales.
Pour démontrer cette proposition, considérons la seconde surface de /"(z), son équation est :
55 + 5? = " ^*)' le plan tangent horizontal à cette surface coupe précisément celte surface suivant une courbe d'égal module à nœud, et l'équation précédente montre du reste que l'indicairice est une hyperbole équilatère ; or, les asymptotes de celte hyperbole sont précisément les tangentes au nœud , ce qui démontre le théorème pour le cas d'un nœud ordinaire à quatre branches.
Mais si au nœud on avait à la fois :
dc^ ~^ If ~^ '
il y aurait plus de quatre branches , et du reste , l'indicatrice ne serait plus une courbe du second degré.
Différentioris n fois l'équation (1) par rapport à x, puis n — 1 fois par rapport âx, et une fois par rapport à y, etc...., nous obtiendrons les égalités suivantes :
dx
dx""
dy
dv'
dx^'^Uy dx'^'-Uy^ ) (2).
dx dy^ dy^*
Si nous supposons alors nulles au nœud, toutes les dérivées de u d'ordre inférieur à n -f- 2 , l'équalion de l'indicatrice sera :
équation dans laquelle ri, ? sont les coordonnées courantes ; les asymptotes de celte courbe sont les tangentes au nœud. Cherchons donc ces asymptotes ; /g» m dé-
signant leur coefficient angulaire, on a , en appliquant une règle bien connue
dy ^ dy dx
ou bien en vertu des équations (2):
/ n., (n^SHn^i) )^>(-±2,g--, \£:!L-^o
et multipliant par Cos. "^ y^
rfy"^ ^ ^ /%""*d^
(Sm. ^,~-^bm. ^Cos. ^+...^--+(^-^ Sin. /^ Cos./.-...)— ^__^0
ce que l'on peut écrire
cos.(«+.)(j-.)p+si„.(«+.)(i-.)|:;£-=o.
De cette équation , on tire :
jB -t-a a u
(?a; dy
et par suite on voit que Tangle j^ aura n -}- 2 valeurs en progression arithmétique,
dont la raison est ^' ce qui prouve en définitive que les tangentes au nœud ,
au nombre de n -|- 2 , font entre elles des angles égaux , qu'elles sont, si l'on veut, les rayons d'un polygone régulier, c. q. f. d.
Comme application , considérons la fonction entière
Les courbes d'égal module de cette fonction ont pour équation :
Mod. {z — a^ ) {z — o-^ )..•• (-S" — a^) = k , k désignant un nombre positif. Si nous marquons les points a^^ a, .... «^ celte équation pourra s'écrire
zui . zoi . zttz •'. zan^= h.
Ainsi les courbes d'égal module des fonctions entières sont les lieux des points pour lesquels le produit de leurs dista7ices à des points fixes est constant.
On voit ainsi que la lemniscate est la courbe d'égal module des fondions du second degré.
On voit , d'après ce qui précède , que dans la lemniscate à nœud , les branches doivent se couper orlhogonalement.
Considérons enfin la fonction e' , k désignant une constante, l'équation des courbes d'égal module sera :
celle des coupes d'égal argument , k' désignant une autre constante :
Ainsi , dans ce cas, les courbes d'égal module et d'égal argument sont des droites' parallèles aux axes , l'équation de la surface de e' sera :
u-= e" c'est un cylindre logarithmique ; l'équation de la seconde surface de e' sera :
elle est plane.
Les racines de la dérivée de e'' égalée à 0 coïncident avec les racines de la fonction elle-même égalée à 0 ; aussi ne faut-il pas s'étonner de voir les courbes d'égal argument toujours parallèles.
Des discussions précédentes, on peut déduire ce théorème analogue à celui de Rolle, et qui en est, pour ainsi dire, la généralisation.
Un point ne peut passer d'un zéro de .f (z) à un autre zéro, en se mouvant dans le plan , sans rencontrer en chemin une courbe d'égal module, le long de laquelle f'(z) passe par zéro.
L'emploi du calcul des résidus conduit à la connaissance de quelques propriétés remarquables des courbes d'égal module.
Considérons d'abord le résidu :
relatif à un contour fermé quelconque ; ce résidu est évidemment égal à la différence des nombres de zéros et d'infinis de la fonction f(z) h l'intérieur du contour en question , soit m ce nombre , nous aurons :
dz = 277 m V— 1
ou bien, multipliant par 2^^ — l :
ou :
/^ dz d'où l'on tire :
[\nz)l = 2.mVZ-i
les limites z, z indiquant que l'on doit prendre la différence des valeurs de 1/(2^) au point z, après avoir fait circuler une fois z le long du contour en question , on obtient ainsi :
ou ;
CO, W„ = 2WÎTT
w^ et Wg étant les valeurs de l'argument de f{z), lorsque ^ partant d'un point du contour donné , a parcouru une fois ce contour, nous pouvons ainsi énoncer le théorème suivant :
Le nombre des zéros de f(z) diminué du nombre de ses infinis compris dans Vintérieiir d'un contour donné, est égal à la quantité dont varie l'argument de f (z) , quand le point z 5e meut sur ce contour de manière à en faire un tour complet, le sens de la rotation étant celui dans lequel on compte les angles en coordonnées polaires.,
Cauchy a , le premier, énoncé ce théorème sous une forme un peu différente , et que l'on retrouve dans les traités d'algèbre.
Soit f(z)=X4-YV — 1 une fonction entière de z=xH-yV — 1, (A) un
contour, m le nombre de racines de f (z) ^^ 0 comprises à ^intérieur de ce
contour, soit i le nombre de fois que le rapport - passe du positif au négatif eu
s annulant, i' le nombre de fois quil passe du négatif au positif en s annulant ; lorsque le point dont les coordonnées sont x et y , décrit le contour A, soit a la différence entre i' et ï, on aura :
Sans nous orrj^lcr plus longtemps au tli(''orôme de Cauchy, consi(li';rons les courbes d'égal module, décn'les aulour d'un zéro de f(z), ne conlenanl que ce seul zéro et pas d'infini de /'(z) dans leur inlérieur ; si nous considérons alors les courbes d'égal argument , nous voyons qu'elles rencontrent toutes une (bis les courbes d'égal moduh; considérées.
lïn eU'et , les courbes d'égal argument rencontreront toutes au moins une fois, en vertu de la continuité de l'argument w variant de Sn le long de la courbe d'égal module, cette courbe d'égal module.
Kn second lieu , je dis (ju'une courbe d'égal argument ne pourra rencontrer une des courbes d'égal module dont il est (incstion en deux points; en ellet , s'il y a deux points de renconire , il y en aura au moins trois , car les courbes d'égal argument ont im point d'arrêt au point racine ; considérons alors la branche de courbe d'égal argument (pii cou|)e la courbe d'égal module en deux points , et décrivons une série d(; courbes d'égal module correspondant h d(!s modules moindres de /'(z) que la première, l/une de ces courbes finirait par devenir tangente à la courbe d'égal argument , ce <pji est absurde.
Un raisormement tout h fait send)labl(ï au précédent , montrerait qu'une courbe d'égal module nnlcrmant deux zéros de /'(:;) est rencontrée deux l'ois |)ar ebacjue courbe d'égal argument, etc ►»
Ce qui vient d'être dit des zéros , peut évidenunent se répéter pour les infinis , mais pas |)Our les iUnix h la fois.
Considérons maintenant la formule
(') Uii peut obiorver en |iuiiH.iiil . tjun coHe l'oiimile tloiino la démoiistraliou liè»-«iiiij)ltî il'uii llit'orèiue démunlré uitex longuement par l'.aucliy, dans lu» nouveaux oxercicen d'analyte et de physique niatliénia-
~ 18 ~ lèfQS « <)• /"(«) H $e$ ialink» il ; $î »ott$ $«(>fMi$o«$ ^im lèro swl «ne ractue «k
U lèsiiiii «k^nl prt$ le Kma^ d ua<^ txmrW 4^%iil »oduW fie «wMhmuM |a$ d »utre lèto 41e f(«) ^pM Tw^Im «I fAÙit vliafioÀ de cette fewliwk^ C«tle ^^liea |m^ui «More $Wrifeî
er« iMMB «vous:
\\\(m{ii>ù (!) |«ttl «Ion s^<kfife »tii$) :
/^jS-Sv'— 1=0.
ou ce qui fevknl au nk^oie :
CMlÙRtt* «)« t.
ds désignant l'clémenl d'arc de courbe d'égal module, et « l'angle de cet élément avec l'axe des x, en remplaçant Cos, a cl Sin. a par leurs valeurs, il vient :
/ du ^^ ,' ■ du \
y? , \ àx^ ^ du / /du »/ 7 du\ ^
OU bien :
Cette équation se décompose en deux au 1res :
Ces équations prouvent que si : sur chaque élément d\me courbe d'égal module, partagée en éléments égaux et ne renfermant quun zéro de f(z), on porte des
poids éqaux au modulel\ ( \ '4 / \ dev/^\ ' '<? centre de qravité de ces ' ^ u^KdxJ^KdyJ n^) ^
poids sera précisément le zéro en question.
Nous venons de voir tout à l'heure que la dérivée de /"(s^) pouvait être mise sous la forme [§16, éq. (C.)] :
^"^-'(rMv/^)
son module est
y+ (sy
Ce module passe par zéro quand if-ptrsseparzéro^ouquan^d- \//lî!:y i /^X* passe
lui-même par zéro; ce qui exige, e^munfi^-ttmta ovona vn-, que f (z) passse par zéro. Mais, en général , quand u passe par zéro , Mod. f (z) ne passe pas par zéro; et pourqu'ilen fût ainsi , il faudrait que f(z} eùl, au point correspondant ,
une racine double, donc y /^y| /^X* csi infini aux points correspondants
aux zéros simples de f(z); mais y i -[- / Jl j | / J^V 1 est le cos-
sinus de l'angle que le plan tangent à la surface de f{z) fait avec le plan des xy ,
donc y / Jf\ 4- / J!\ est la tangente du môme angle; donc^cnfîn aux points
^ \dxj ' \dyj ^ '../^<s.^^.'*^/:<..
correspondants aux zéros, le plan tangent est-pwpp.ndinulaipe- au plan des xy. S'il s'agissait de zéros doubles, le plan tangent serait au contraire paraUèlc ^ plan des xy.
Ainsi , on peut maintenant se faire une idée assez nette de la forme des surfaces qui représentent f^z) ; la première se compose d'une série de trompes pointues , reposant par ces pointes sur les zéros de fÇz). Quelques-unes de ces pointes sont émoussées et reposent sur les zéros doubles ; enfin , ces trompes se raccordent et les points de raccordement correspondent aux zéros de f (z). La seconde surface se compose aussi d'une série de trompes , seulement elles sont infinies et asymptoliques à des droites perpendiculaires au plan des xy ; dans les deux surfaces, il y aura des trompes ascendantes asymptoliques à des droites parallèles aux u passant par les infinis de f^z).
La seconde surface est à courbures opposées ; on peut le vérifier sur l'équation qui fait connaître les rayons de courbure. Cette équation , comme on sait , est :
R,jo,^, r,s, t ayant la signification qu'on leur attribue dans tous les traités d'analyse. Si l'on y introduit l'hypothèse
d^v . dv -
dûù^^ dy^~ , ■
OU r = — t,
le terme de ri — s^ sera de signe contraire au coefficient de -— et les deux courbures seront de sens contraire , c. q. f. d.
Des discussions précédentes résulte, que nous venons de trouver une inté'^rale très-générale de l'équation
