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puisque nous venons de voir que tout logarithme de module de fonction monogène y satisfait. Réciproquement nous allons démontrer que :

Toute fonction continue de deux variables^ n ayant quune valeur pour un même système de valeurs d\ et d'y, et satisfaisant à l'équation (B), peut être pris pour logarithme du module d'une fonction monodrome et monogène.

En effet, dans l'équation (B) remplaçons v par Iw , il viendra :

posons actuellement :

(2) w = y^ - __ rfw -j fonct. arbitraire d'j; , ^ u du

ou ce qui revient au même:

dw 1 du dy u dx' ou différentiant :

d'^u> \(^ j (duY dxdy u dx'^ u^ ^dx^

portant cette valeur de i — — - (-Y dans l'équation (1 ), elle devient: u da^ u- \dxy

rf*M 1 /rfM\2 \ d*u

i /dt w* \ di

d'où , intégrant :

dx dy w* \dyy u dy^ '

dco { du

^l' étant une fonction d'x arbitraire, prenons ^(x) = 0 , et nous voyons que étant donnée l'équation (1), on pourra toujours choisir une fonction « satisfaisant aux relations (A):

d^ i du

(^\ ) dy u dx

^ ^ Wco i du

dx u dy

or, ce senties équations qui expriment que ue'^^~^ est une fonction monogène dont u est le module ; or, si pour une même valeur d'rc et d'y, u n'a jamais qu'une seule valeur, v =\u n'en aura qu'une seule aussi, elw défini par les équations (A) pourra en avoir plusieurs différant par une constante; mais puisque l'on est maître de choisir ces constantes , on pourra les choisir toutes nulles ou différant de multiples

de Stt, en sorte que we"^""^ restera monodrome. Il faut remarquer que pour M = 0 les équations (A) donnent pour j^ et j^ des valeurs indéterminées , eteffectivement aux zéros de la fonction on sait que w est indéterminé.

Ceci posé, l'équation qui exprime qu'un corps est en équilibre de température, est :

l?- '' dy'' '^ dz- ~

Si l'on suppose que le corps soit une plaque indéfinie assez mince pour que ^ soit nul , c'est-à-dire pour que l'on n'ait pas besoin de considérer les variations de température dans le sens transversal, l'équation précédente se réduit à :

d^v dH -

Or, V varie d'une manière continue , c'est la température de la plaque ; pour la même raison il n'a qu'une valeur pour une même valeur d'à? et A\j , donc v est le logarithme du module d'une fonction monodrome et monogène. Supposons donc que l'on trace effectivement sur la plaque en question deux axes Ox et Oy par rapport auxquels on rapportera les valeurs de la variable dont la fonction a pour module U'=e^; construisons la seconde surface de celte fonction, les projections des sections parallèles à la plaque seront à la fois les courbes d'égal module et d'égale température.

De là, un moyen de trouver les courbes isothermes sur une plaque échauffée ou refroidie d'une manière très-intense en quelques-uns de ses points que l'on assimilera aux zéros ou aux infinis d'une fonction dont les courbes d'égal module seront précisément ces courbes isothermes. De là aussi , un moyen de trouver les trajectoires orthogonales des courbes isothermes , c'est ce que nous allons éclaircir par quelques exemples.

Si l'on considère une seule source de chaleur , les courbes isothermes seront des cercles, cela est évident. Prenons deux sources, nous aurons les courbes d'égal

module d'une fonclion qui devienl infinie deux fois sans passer par zéro puisque le logarithme v de son module devienl deux fois infini positif. Celte fonclion est donc nécessairement de la forme suivante , \, a, b désignant des constantes :

ses courbes d'égal module ont pour équation :

Mod. — — = constante,

c'est-à-dire :

Mod. (2^ — a) (z — 6) = constante, ou r r' = constante.

r et r' étant les rayons vecteurs d'un point par rapport aux infinis a, 6, c'est-à-dire par rapport aux sources calorifiques.

Ainsi dans le cas de deux sources calorifiques , les courbes isothermes sont des lemniscates ayant leurs foyers aux deux sources.

Les trajectoires orthogonales de ces lemniscates peuvent être trouvées facilement au moyen des théories précédentes ; elles ont pour équation

Arg. {z — Cl) (z — 6)= const. = x

ou bien

a et /3 désignant les angles formés par les rayons vecteurs r et r' de la courbe cherchée par rapport aux deux sources, et l'axe des x. En prenant pour axe des x la ligne des sources , pour axe des y une perpendiculaire au milieu , on trouve pour équation des trajectoires en question :

tgx^^^n^ ^±^

c* — Xc désignant la demi-distance des sources , ou bien :

'8^ (y'~^') — 2 xy -f tgx C-— 0.

Cette équation représente des hyperboles èquilatères ayant leur centre commun au milieu de la droite qui joint les deux sources.

Avec trois, quatre... sources de chaleur, on trouverait des courbes ayant pour équation en coordonnées multipolaires :

r r' r".... = constante.

Ces courbes seront toutes algébriques. Ainsi on peut dire que les courbes isothermes obtenues à l'aide de fils incandescents , traversant une plaque homogène , sont algébriques et de degré double du nombre de sources calorifiques.

Il peut être intéressant de chercher ce que deviendraient les courbes isothermes dans le cas où l'on aurait non-seulement des sources calorifiques , mais encore des sources frigorifiques excessivement intenses.

Supposons, par exemple, une source de froid et une de chaud , la quantité v passe

par -{- 00 et par — 00 , une fois. La fonction qui fournira les courbes isothermes

sera donc de la forme :

z — a A r = constante.

A, a, b étant des constantes, les courbes isothermes seront définies par l'équation:

Mod. (z — a) ^ ,

„ , , rf = const. = k

Mod. {z — h)

ou en coordonnées bipolaires:

Cette équation, comme on sait, représente des cercles, on trouverait pour équation des trajectoires orthogonales en coordonnées angulaires

« — ;3 = const.

Celte équation représente encore un système de cercles passant par les deux sources. Plus généralement l'équation des courbes isothermes en coordonnées multipolaires est :

; — -1-^-^ = constante ,

r, Vi' Ti"

r r' étant les rayons vecteurs appartenant aux sources calorifiques.

r,r,'.... étant les rayons vecteurs appartenant aux sources frigorifiques.