INTRODUCTION
1. Dans un mémoire classique M. Prcarp a démontré qu’une fonction méromorphe {CR prend toutes les valeurs sauf peut-être deux *). Son théorème a été l’origine d’une théorie extensive que les recherches de MM. Borer, ScHoTtky, Laxpau, Moxrei, VaLIRON, JuLra, Osrrowskr, NEVANLINNA et Mircoux ont amené à un haut degré de précision. Les résultats peuvent être divisés en deux classes, ceux d’une nature quantitative comme les énoncés de MM. Borez, VALIRON, NEVANLINNA et MicLoux et ceux d’une nature qualitative comme les résultats de MM. MoxTe, JULIA, et Osrrowskt, et qui sont remarquables par leurs simplicité et élégance.
M. Borez fut le premier à généraliser le théorème de M. Picarp en démontrant que *), si f(x) est une fonction méromorphe d'ordre p et o(x) une fonction méromorphe quelconque d'ordre inférieur à p, l’exposant de convergence des xéros de f(x) — g(x) est égal à p sauf peut-être pour deux fonctions g,(x) et g,(x).
Pendant la dernière décade beaucoup d’interêt se manifesta dans les tentatives pour trouver des régions de plus en plus restrictives pour lesquelles on peut dire que la fonction f(x) prend toutes les valeurs sauf peut-être quelques-unes. En employant la
1) É. PicarD, Mémoire sur les fonclions entières [Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, 2° série, t. IX (1880), p. 147-166].
2) É. BoreL, Leçons sur les fonctions méromorphes (Paris, Gauthier-Villars, 1903). Le résultat pour les fonctions entières avait été donné dans un mémoire: É. Borez, Sur les zéros des fonctions entières [Acta Mathematica, t. XX (1896), p. 357-396]. Voir aussi É. Borez, Leçons sur les fonctions entières, 2° édition (Paris, Gauthier-Villars, 1921).
2 D'YA/VST D'IMRCEMITIL ENTPATMES:
théorie des familles normales de M. Moxrer, M. Jura a donné les propositions suivantes °):
1. Soient f(x) une fonction entière ou une fonction méromorphe ayant une valeur asymiotique, et D' le domaine balayé par un cercle C dont le centre x décrit un chemix L donné aboutissant au point à l'infini, et dont le rayon est skx|, où © est un nombre positif: il existe un domaine D, qui se déduit de D’ par une rotation convenable autour de l'origine, et dans lequel la fonction f(x) — a s’annule une infinité de fois pour toutes les valeurs de a sauf deux au plus.
2. De plus, soit o un nombre de module supérieur à 1 et e un nombre positif arbitraire. Il existe un point 7, de module compris entre 1 et o« tel que, dans l’ensemble des cercles C, n = 1,2, ... de-centreés 7,5" et de rayonstes"| la fonction Ja s’annule une infinité de fois pour toutes les valeurs de a sauf deux au plus.
Ces propositions découlent immédiatement des résultats obtenus par M. Mxroux. En s'appuyant directement sur le théorème de M. Scnorrky, il a démontré l'existence d’une suite infinie de cercles {C(r,, fX +) dont les éentres ont r, pour modules, croissant indéfiniment avec », et tels que dans C(r,, f) la fonction f(x) prenne toute valeur de module inférieur à #(r,) sauf au plus des valeurs qui peuvent être enfer-
mées dans deux cercles de rayons , ®(r) étant une fonction croissante indéfini-
A4) ment avec r °). M. Mircoux a donné à ces cercles le nom de cercles de remplissage parce que la fonction Z=— f(x) remplit des régions de plus en plus étendues du plan des Z lorsque le centre de C(r,, f) s'éloigne à l'infini. Dans un mémoire récent °) M. VarrRoN a précise les résultats de MM. Jucra et Mircoux sur le rayon des cercles de remplissage et dans le cas d’une fonction d’ordre fini la borne supérieure obtenue est la plus précise possible à un facteur constant près. ;
Dans une monographie, parue dans le Mémorial des Sciences Mathématiques, M. VALIRON a fait remarquer que le théorème de M. Jurra peut se généraliser au cas où
8) G. Jurra, Sur quelques propriétés nouvelles des fonctions entières et méromorphes [Annales Scientifiques de PEcole Normale Supérieure, 3° série, t. XXXVI (1919), p. 93-125: t. XXXVII (1920), p. 165-218; t. XXXVIIT (1921), p. 165-182].
4) Pour la brièveté nous désignerons une infinité dénombrable d’entités 4,, 4,,..., 4,,...
par AR et une infinité non-dénombrable d’entités À par S AL.
S) H. Mircoux, Le théorème de M. PICARD, suites de fonctions holomorphes, fonctions méromorphes et fonctions entières (Thèse) [Journal de Mathématiques pures et appliquées, 9° série, t. III (1924), p. 345- ]l; Sur le théorème de M. Prcarp [Bulletin de la Société Mathématique de France, t. LIII (1925), p. 181-217].
$) G. VaLiRoN, Compléments au théorème de Picaro-Jurra [Bulletin des Sciences Mathématiques, EST (027) pero 7enss il |
Ja constante a est remplacée par un polynome ou par une fonction encore plus générale 7). Ce sont ces généralisations dont il s’agit dans le présent mémoire.
Nous bornerons notre attention aux fonctions entières. Pour notre but nous aurons besoin d’une inégalité relative aux fonctions f(x) holomorphes ct ne prenant pas les valeurs z£ro et un dans le cercle-unité. D'aprés un théorème de M. Scuorrky on sait que chaque fonction d'une telle famille est bornée dans le cercle {?] 22 0 < 1 par une fonction de f(o) er 0. M. VariroN a donné une expression explicite pour cette fonction, à savoir *)
