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LA A étant une constante absolue, et dont nous donnerons une démonstration. On peut V = A +4 £ GY Re LE \ :

{tendre cet inégalité au cas où f(z) ne devient pas égale à deux fonctions holomorphes dans |;| 1.

= TR ASS er Re ie 3 , Prenant d’abord une fonction entière f(x) et un polynome P(x) de degré hp, , = 4 et en s'appuyant directement sur le théorème de M. ScHorrky, nous nous proposons de démontrer qu'il existe un cercle dans lequel f(x?) — P(3) a au moins un ztro pour tous les polynomes P(x) sauf peut-être ceux voisins d’un certain polynome, et alors qu’il existe une suite de cercles {C,} de centres s’éloignant indéfiniment tels que dans C, les fonctions f(x) — P(x) s'annulent pour tous les P(x) de degré /Z p(C,) sauf ceux d’un certain ensemble {P? dépendant de C,. Etant donné

RÉ PCA Te FER RCE

et en représentant les p + 1 premiers coefficients dans p + 1 plans, on peut définir un domaine D des p + 1 plans dans lequel les coefficients 6, €,, ..., c, peuvent varier sans que les nouvelles fonctions obtenues cessent de s’annuler dans C,. Le rapport du rayon de C, à la distance r, de son centre de l'origine décroit lorsque r, tend vers infini, d’où résulte immédiatement un théorème analogue à la première proposition énoncée ci-dessus de M. Juzra.

Ensuite nous démontrerons que ces résultats s'étendent au cas où P(z) est remplacé par une fonction rationnelle R(z), ou une fonction entière d'ordre nul dont la

densité des zéros vérifie l'inégalité Mr) (los r)",

où Ë est un nombre positif mais aussi petit que l’on veut, en supposant dans le second cas que la fonction f(x) donnée soit d'ordre positif.

7) G. VaLiIRON, Fonclions entières et fonctions méromorphes d'une variable (Mémorial des Sciences Mathématiques, fasc. II), (Paris, Gauthier-Villars, 1925).

8) G. VaLiRON, Sur les fonctions méromorphes sans valeur asymptotique [Comptes rendus hebdomadaires de l'Académie des Sciences, t. 182 (1926), p. 1266-1269].

La méthode employée exige que g(x) soit d’ordre nul, mais on peut se demander si les résultats restent vrais quand l’ordre de g(x) est positif mais inférieur à celui de JR:

Il me reste pour terminer cette introduction, à exprimer toute la reconnaissance que j'ai contractée envers M. Frécner, le Directeur, et envers MM. les Professeurs de lInstitut de Mathématiques à Strasbourg, et à remercier tout particulièrement M. VazioN qui a bien voulu orienter mon travail et près de qui j'ai trouvé une aide

constante.