D'ASVITED RENAN IT AMES
En particulier cette inégalité a lieu pour le centre de y,. Mais à ce point on a aussl
Hope
et nous sommes arrivés à une contradiction si
(48) [og MCR, P° > [los, MCR, PI(os RY.
Supposons en définitif que MG f)= 87 e(r) étant fini si f(x) est d’ordre fini et croissant indéfiniment si f(x) est d’ordre infini, On sait que pour r = R, H>6s2>0, et par conséquent (log R) est petit en rapport à log M(R, f). Alors (48) a lieu si
PCR) log R © [4 + sCR)][log, pe CR) + log, R],
inégalité qui est valable à partir d’une certaine valeur de R, e(r) étant une quantité positive tendant vers zéro lorsque r augmente indéfiniment.
Il résulte donc que la fonction f(z)—zg(x) s’annule dans le cercle y;. En somme nous avons démontré que la fonction f(?) — g(x) s’annule au moins une fois dans le cercle (C) de rayon 0(R) R pourvu que les inégalités (45) et (46) soient vérifiées.
Interprétons la première des inégalités (46). Si 1 = X et a,-£a; il résulte que la fonction f(x) — g(x) s’annule dans (C) si
EC
Sil—Aeta—a,a,,—4,,,...,4,,—a;., tandis qué a, £a! il résulte que la fonction g(x) n’est pas exceptionnelle pour (C) si
RC Si I<CX ou 1 À la fonction f(x) — g(x) s’annule dans (C) si
I I al>— ou |, el > R la] > R respectivement.
Finalement nous avons la proposition suivante:
THRÉORÈME 8. — Soient f(x) une fonction entière d’ordre posihf donnée et g(x) une fonction d'ordre nul ayant un développement de la forme
s@=ar] [tr — sh D PACA
(nu) n
et telle que la densité des xéros vérifie l'inégalité n(r) < (log r) P
où $ est un nombre positif aussi petit que l’on veut. Nous supposons que ja] < C EE
| 1 << (log C)* C étant un nombre positif.
Il existe un nombre k => 1 et une suite infinie de nombres £RX croissant indéfiniment, R, étant >> un certain nombre r., tels que dans la couronne
R il y ait un cercle C,(f) de rayon
H(k FO og RJÈR,,
H(k) étant une fonction ne dépendant que de k et © un nombre positif inférieur à Pordre de f(x), possédant la propriété suivanie: ou bien la fonction f(x) —g (x) s’'annule dans C,(f) pour chaque fonction de la famille ÿg(x}} pour laquelle C=R,, ou bien parmi les fonctions de celte famille il y à une
2e g,@ = 4 [IG -+)
telle que f(x) — g,(R) ne s'annule pas dans C,( f) tandis que f(x) — g(x) s’annule “pour toutes les g(X) de la famille pour lesquelles
sa si (aa >,
Une aa pour IST, a—a£o si (og) et l—af>.,
12 D'ANYEND AR EN DIIMAT AMIS
Les hypothèses étant les mêmes que dans théorème 8, il existe un nombre borné kR©> 1 et une suite infinie de cercles $C, (f X d’équation
RG TS st
)tog k, CAN
G “dont les centres s’éloignent indéfiniment tels que, ou bien la fonction f(x) — g(x) s’an-
LA2I ë
nule dans C,(f) pour toutes les fonctions g(x) pour lesquelles C —= ou bien
parmi ces fonctions il y a une g (x) telle que f(x) —g, (x) ne s’annule pas dans C,(f),
tandis que f(x) — g(x) s'annule dans C,(f) pour toutes les g(x) vérifiant les conditions kr, CP)
Ainsi nous avons défini une suite de cercles {C,(f)t telle que dans C,(f) la fonc-
(49) R, étant remplacé par dans chaque inégalité.
tion f(x) — g(x) s’annule pour toutes les #(z) vérifiant (49) sauf peut-être une ensemble qui dépend de C,(f). D’autre part il n’y a qu’une fonction g(x) qui peut être exceptionnelle pour l’ensemble de cercles 4C,(f)i. Car soient
g@ = LT GE en EE Dar at] ==
tea is Éæ + 7 ACT EE ES RO À | IG: —+)
deux fonctions de la famille fs (x)}, et supposons que g (x) soit exceptionnelle pour l’ensemble de cercles {C, (f):.
Si 1—3, désignons par t le plus petit entier tel que a, =£a;. Soit 8 =<o le zéro de la fonction g(x) — g,(x) qui est le plus proche de l’origine, et désignons par K
: : : t et : et ensuit LE nsuite Re jee ae :
Ft 1b
la borne supérieure des nombres |a,}, |a
. . t le plus petit entier tel que
Prenons v le plus petit entier tel que
(log RNA Re.
Si N est le plus grand des deux nombres et v il résulte du théorème 8 que la fonction g(x) n’est pas exceptionnelle pour le cercle C,(f) ni a fortiori pour les cercles CK,,(f), Cx,,(P), -... Le nombre k que nous avons introduit en choisissant
la suite de nombres {R,? dépend de f(x) et donc E est une constante qui ne dé-
pend que de f(x); alors nous avons le résultat suivant:
THÈORÈME 9. — Soit f(x) une fonction entière donnée d'ordre positif et #g(x)} une = famille de fonctions entières d'ordre nul pour lesquelles
n(r) LUlogr)”?, où $ est un nombre posilif aussi petit que l’on veut. Il existe une suite de cercles iC, (FX d’équation | FES k— & O0) = A Ollos x, IR, CP)
H(f) un nombre ne dépendant que de f, telle que l'équation
