T4) LP
in) 5
pour r suffisamment grand.
Nous supposons que
BRON ERA ee el < £ (log R)
RRCR Se Re
et par suite, Ê étant € A SN R, nous aurons GI < os LOS ie
En mettant en évidence les zéros de la forme
et
g(x) — g, (x) nous avons un développement de
RQ = be T IC - +) ;
Si n,(r) désigne le nombre des zéros de g(x) — g,(x) de module <r, nous avons d’après la formule de M. JENSEN
[ Core < log Mr, g — g,) —loglh] —tlogr,,
vo
r, étant le plus petit des nombres ;]6, |}.
Supposons que
log |b,| => — log R (46) log r, >> — log k
Le (loeuR) 2
1 (2 Re ftp 0na
[Base [Bar < st.
x ter
Prenons r— 1, f>.0, et puis 1 LV .
+ : 1 +) 22 En choisissant y tel que l’expression EE soit un minimum on a
n(r) <1o(logr)É.
Le nombre des zéros dans le cercle x] <'kR est ï n, (ER) < ro(log #R)'# | < rrGogR)
pour R assez grand, et par suite
HÂRR)EQN.
38 DA V DDR WILLIAMS:
Considérons les N + 1 cercles de remplissage (S) dans le cercle (C) et désignons , Ë k les par y, (4—=0, 1, ..., N) et soit x, le point dans y, où f(x) prend Pune des va-
leurs o et’1. Soit y; le cercle d’équation k—x|<32R.
Il est évident que les N + 1 cercles {y} n’empietent pas et sont tous contenus dans le cercle (C) et par conséquent dans la couronne F. Une fonction entière ayant au plus N zétros dans le cercle 4] <C&R ne s’annule pas dans au moins un des {y} et donc à chaque couple de fonctions g(x) et g,(x) correspond au moins un cercle y: dans lequel g(x) — g,(x) n’a pas de zéros. .
Étant donnée une fonction entière f(x) d'ordre positif nous proposons de démontrer que f(x) — g(z) s’annule dans le cercle (C) pour toutes les fonctions {g(x)} vérifiant les inégalités (45), sauf peut être quelques-unes. Admettons que la fonction F() =/f(Q) — g,() n'ait pas de zéros dans (C). Nous démontrerons que cela n’arrive pas pour les fonctions de la famille fs (x) qui vérifient les inégalités (46). Car supposons que g(z) soit une autre fonction eo Ile dans (C). Il existe un cercle y! dans (C7) tel que g(x)—g,(x) ne s’annule pas dans y:. Les fonctions F(z), g(2)—g (x) et FC) — [g(x) — g,()] sont holomorphes et ne s Re pas dans y’. Les condi-
tions du théorème 2 sont vérifiées. En mettant 7 — -— dans la formule (12) on aura | 3
pour 7 à l’intérieur du cercle z — x] <2xR
PQ eme ete à I AÉ 5+4]
k,(logR)2—P L = = ï = le Cdt)
où k, est une constante absolue.
A - infér] -a - Il nous reste à trouver une borne inférieure de [g(x,) — g (x). En mettant en ES .
évidence les zéros de g(x) — g,(x) qui se trouvent dans le cercle (| < 2ÆR nous
avons Das [T (+) TT 6-2).
nn, (2kR) nDn, (2KR)
à re Pour le dernier produit — désignons le par G(x) — nous avons
Se Se I 4 est positif et inférieur à —— on a
PA
Ds 4e,
” et par conséquent pour R| LEkR kR 6@> [I G-#) ë FER) LE
DER Y ' Le e nn 2kR) lPnl u
Mais par un calcul facile on obtient la rélation
S = D: = [EP ax 200
Sn, (2kR) I6, kR Ÿ 2kR
et puisqu'on a #,(r) = log r pour r assez grand, il résulte que
à Hp ?logx , log2kR+1:
D ie
Alors pour les points ? dans la couronne F on aura ; D | IBÉOERAESS
où k, est une constante borne.
La fonction g(x) — g,(x) ne s’annulant pas dans le cercle y! on aura pour
nn, GER)
et.
IX; FE g, >. 2&«k,
b' log2kR a G log, MCR, 5)
LE. ; bn: ; :
si est inférieur à 1, ce qui a lieu pour R assez grand. Par conséquent
pce . 6 Ho ACER UN (#4 log, M(R, eee
Ph où puisque (ER o et LA > gr lo8R
M à AE le (x;) — ra (x) eg Fo+1)logR [A log, MR, mue | A; = —; et R étant supérieur à %. En portant cette borne inférieure de x) = g, (x,)} à (47) on a
| FCO] << tilosR?F grallog MUR, PlogR
STE 5 a > et par suite pour R suffisamment grand
PE FCO << des MR tee |
