FI <[41/C@) + AT

a lieu pour K| Zr 1, À étant une constante absolue supérieure à x. En faisant une transformation de variable M. VALIRON a remarqué que les termes f() et f(o) dans (8) sont permutables, c’est-à-dire que nous avons aussi

TS

(8) Co) TAG + AT Xe, APS 2 els ini à

Des inégalités (8) et (8°) nous pouvons en déduire d’autres où la constante 4 n'apparaît plus, ces dernières n’ayant lieu que pour certaines valeurs de f(o) et f(x). Si, par exemple, [f(o)| >> 1 nous aurons de (8)

©) FCI < LAON

8 D AMV DIR WILLIAMS:

Soient r, un nombre positif <Z 1, et « un nombre, évidemment positif, tel que mea HOBNEOR Désignons l'expression (2 4)" par C(r,, à). Alors si o <r <r, et [f(o)| est

ù Ye a N C(r,, «) nous aurons

(9') | QI < Fo)"

D'une même manière si [f(x)| est supérieur à 1 on a de (8°°)

Ce FC) <E24/@ 7 ct si [f(x)| est supérieur à un certain nombre positif C(r,, «) il résulte que (Cie FONAQNT S > SREERR

Plus précisement, si [f(o)| > 2 4, on déduit immédiatement de (9)

HORGIOIRE ce qui est valable pour | Zr =, et si |f(o) >> 4 4° cette inégalité a lieu pour ere 1 Encore ler 10H04 |

(10) Co) </GRNT I sr dr : : : 2 DOUTE Es incgalité qui nous sera utile plus tard, ets ff) 47 on

(fo)- valable pour ZX r 1x:

Les intgalités (9') et (9'°*) sont utiles quand les valeurs de |f(o) ou de |f(2)l sont grandes. Nous trouverons des inégalités analogues pour le cas où |f(o)| ou

Re (f(x) sont petits. On remarque que la fonction D vérifie les mêmes conditions que &

f(R), c’est-à-dire elle est holomorphe et ne prend pas les valeurs o et 1 dans le cercle kI< 7.

Supposons que |f(o) soit petit et par conséquent HO) soit grand, par exemple

EC, Encuakpoine 7 poule ent

On aura

centre x, et de rayon 1 — r,, d’après (8) nous aurons pour &j— 2%] fr.

dre

ro

et par conséquent

He) | <CK(r).

Fo) < 0 Il ne sufht que de prendre C, égal à 2K(r,) pour arriver à une contradiction.

Alors ee FC)

étant supérieur à 1, l'inégalité (9°Ÿ) nous donne

SRE

<br]