D'AUVITID OR: VIT AT AUS
qui est valable dans le cercle || 1. J(o) étant l'inverse de w(y), la fonction fG) est égale à J (ge (x)), ct par conséquent au point «, dans le plan de J(w) correspond
un point w(c) dans le triangle fondamental D du w plan. Il s’agit de trouver maintenant une borne supérieure du nombre @(c,) lorsque le
« RE = 7 n Fe n 1 point w(c,) se trouve dans D. De la géometrie il résulte que 1 2
Le I(o (c)) 3
Pour considérer le terme J(s (c)) il est commode de diviser 1) en deux régions
selon que T(u(c)) ZK ,ou > K,, K, étant un nombre que nous allons définir. D'abord, de la formule (1) on déduit que le produit g/(w) est régulier pour [g| < 1
et RTE g](o)»> K, — o lorsque g tend vers zéro, c’est-à-dire lorsque 7 (w (x)) tend vers infini. Soit À, un nombre tel que l’inégalité
g/(@)> K ait lieu pour I(w (x) > K,. En particulier nous aurons pour I(6(c)) Sos
JC) = le > Ké,
—2xl(o(c)) 1 2 É je (A à K°,
et ensuite
d’où il résulte que
(4) 2r1(0(c)) < log fc] — 2108 K, < log fc] + K,, K, une constante bornée.
Considérons Pinégalité (2) pour le cas où
Nous aurons
og (OI < ECC jose be) : a.
et par suite, en tenant compte des inégalités (3) et (5)
los PGI < 258, + ÊE + log KES R è
I da — (log A) 2
A, une constante bornée; par conséquent
(6) FOI < D'autre part si I(o (c, Je
Vo:
nt 6
, les inégalités (3) et (4) nous donnent
ri
mn tr ni = [log
et donc
Graf
(7) Forte
À, étant une constante bornée. En combinant (6) et (7) nous aurons l’inégalité
FCO LA + 4ÏT
ce qui est valable pour I (o(c,)) quelconque dans la région fondamentale D, et par
conséquent pour toute valeur de c, différente de o, 1, et © qui sont en effet les valeurs exceptionnelles de f(x) dans 4] << 1. Dans le second membre 4, et À, sont des constantes absolues. En désignant par À un nombre plus grand que les trois nom-: bres 1, À et À, nous aurons le théorème suivant de M. VarrRox.
THÉORÈME 1. — Si la fonction f(x) est holomorphe dans le cercle de centre l’origine et de rayon un et ne prend pas les valeurs o et x dans ce cercle, l'inégalité
TE
