V. p = f, c'est-à-dire que le point est au foyer principal

La formule donne p' =? - =oo, c'est-à-dire que Vimage est rejetée à l'infini

En effet, les rayons réfléchis sont alors parallèles à l'axe.

VI. p < /", c'est-à-dire que le point lumineux est entre le foyer principal et le miroir.

Le dénominateur de la formule [4] étant alors négatif, il en est de même de^', ce qui indique que la formule ne convient pas à ce cas. Cela n'est pas

MIROIRS GOURRES. 617

étonnant, puisqu'on l'avait établie en supposant qu'il existait une image réelle. Or, si l'on recommençait le même calcul en faisant la supposition inverse, c'est-à-dire en admettant l'existence d'une image virtuelle, on trouverait l'équation aux foyers conjugués sous la forme suivante,

|1 bis]

d'où l'on tirerait la formule

[2 bis]

Celle-ci, pour toutes les valeurs de p inférieures à /", donnerait pour p' des valeurs positives et parfaitement admissibles. Cela prouve que pour toutes les positions du point lumineux comprises entre le foyer principal et le sommet on a une image virtuelle, dont la distance au miroir est donnée par la formule [2 bis].

Remarque. — Pour représenter les divers cas qui peuvent se présenter dans la réflexion sur un miroir concave, il faut donc employer les deux équations [1] et [1 bis]. Toutefois on peut n'en prendre qu'une, en admettant les conventions algébriques relatives à l'interprétation des quantités négatives. Si l'on convient d'avance que les valeurs négatives de p' correspondront aux images virtuelles, l'équation

tu Ù±U

comprendra tous les cas.

432. Formules des miroirs convexes de petite ouverture. — Ie Équation aux foyers conjugués. — Il est facile de la trouver directement, par la même méthode que pour les miroirs concaves. En se plaçant dans le cas d'une image virtuelle, on arrive à l'équation

En posant

j=r, don -=-,

et en changeant les signes des deux membres, l'équation devient

Telle est la formule des miroirs convexes.

Remarque.— On pourrait la déduire de l'équation fondamentale

en changeant de signe toutes les grandeurs géométriques qui ont changé de sens par rapport au cas initial d'un miroir concave donnant une image réelle d'un point lumineux réel. En effet, p' et /"changeant de sens changeraient de signe, et l'équation deviendrait

; = — 7» d'où — = -. 1

Discussion, — De cette équation on déduit

En discutant la formule comme précédemment, on verrait qu'elle donne toujours une valeur admissible, quel que soitp : ce qui prouve qu'elle s'applique à tous les cas, et que l'image d'un point lumineux réel est toujours virtuelle dans un miroir convexe.

•433. Cas des objets lumineux. — 1° Distance de Vimage au miroir. — Les équations aux foyers conjugués qui correspondent soit aux miroirs concaves, soit aux miroirs convexes, expriment aussi la relation qui existe entre la distance de l'objet au sommet du miroir et la distance de son image. En

Fi£. 182.

effet, AK et AO étant ers deux distances (fig. 482), comme les points K et 0 sont deux foyers conjugués, on peut leur appliquer l'une des formules ci-dessus. On aura

Vf ' v— l pour le cas des miroirs concaves, et

pour celui des miroirs convexes.

2° Grandeur de Vimage. — A l'aide des formules ci-dessus, on peut aussi facilement calculer la grandeur d'une image quand on connaît la distance de l'objet, sa grandeur et le rayon du miroir. En effet, si l'on représente l'objet par BD (fig. 182), son image par bd, et si l'on suppose connus la distance KA=p et le rayon AC =2/", on calcule Ao =p' au moyeu de l'une des deux formules ci-dessus. Or, les deux triangles BCD et dCb étant semblables, on a,

bd Ço

et l'on a vu précédemment que

donc

bd jy f , Bl)~~^ ~~p — f

MIROIRS COURBES

434. Aberration de sphéricité. — Caustiques par réflexion. — Nous avons dit plus haut que les rayons émanés d'un point ne sont réfléchis de manière à concourir en un point unique qu'autant que l'ouverture du miroir ne dépasse pas 8 à 9 degrés. Pour une ouverture plus grande, les rayons réfléchis près des bords vont rencontrer l'axe plus près du miroir que ceux qui se sont réfléchis à une petite distance du centre de ligure. Par suite, à un point lumineux unique correspondent en réalité une série de foyers conjugués, disposés en ligne droite, sur Taxe secondaire du point, le foyer des rayons périphériques étant toujours le plus voisin du sommet. La distance entre les foyers extrêmes s'appelle aberration longitudinale de sphéricité. Lorsqu'il s'agit d'un point lumineux situé sur l'axe principal, et à l'infini, l'aberration correspondante s'appelle aberration principale : c'est la distance du foyer principal des rayons périphériques au foyer principal des rayons centraux. Ce dernier foyer était le seul que nous eussions à considérer dans le cas des miroirs de petite ouverture. De là résulte, dans les images, un défaut de netteté plus ou moins grand, qui a fait rejeter l'emploi des miroirs concaves sphériques de grande ouverture et leur a fait substituer, dans la construction des instruments d'optique, les miroirs concaves paraboliques.

Les rayons réfléchis se coupant successivement deux

a deux, comme on le voit au-dessus de l'axe FL (fig. 483), leurs points d'intersection forment dans l'espace une surface brillante qu'on nomme caustique par réflexion. La courbe FM représente une des branches de la section principale de cette surface, qui est de révolution autour de l'axe principal.

435. Miroirs paraboliques. — Les miroirs paraboliques sont des miroirs concaves dont la surface est engendrée par la révolution d'un arc de parabole AM autour de son axe AX (lig. 484).

On a vu ci-dessus que, dans les miroirs sphériques, les rayons parallèles à l'axe ne viennent qu'approximativement concourir au foyer principal ; il en résulte que, réciproquement, une source de lumière étant placée au foyer principal de ces miroirs, les rayons réfléchis ne forment pas un faisceau rigoureusement parallèle à l'axe. Or ce défaut ne se rencontre pas dans les miroirs paraboliques. En effet, c'est une propriété connue de la parabole qu'en

un point quelconque M de cette courbe le rayon vecteur FM et la droite ML, parallèle à Vaxe, font avec la tangente TT des angles égaux. Par suite, les angles avec la normale seront aussi égaux : donc, dans ces sortes de miroirs, tout rayon parallèle à l'axe tel que LM sera réfléchi suivant MT et ira rigoureusement passer au foyer géométrique F du miroir. Réciproquement, une ource de lumière étant placée en ce foyer, les rayons lumineux qui tombent

Fig. 184.

sur le miroir se réfléchissent en un faisceau rigoureusement parallèle à l'axe Les miroirs qui possèdent cette propriété sont appelés aplanétiques.

456. Construction et emploi des miroirs aplanétiques. — Dans ces conditions la lumière ainsi réfléchie conserve la même intensité jusqu'à une grande distance de la source; car c'est surtout la divergence des rayons qui en affaiblit l'intensité. Aussi, bien que les miroirs paraboliques soient plus difficiles à construire et plus coûteux que les miroirs sphériques, ils leur sont préférés comme objectifs de télescopes.

1° Les premiers miroirs aplanétiques pour télescopes furent construits en 1777 par l'opticien anglais Mudge. C'étaient tout simplement des miroirs sphériques en métal, qu'il polissait ensuite de manière à enlever un peu plus de matière au centre que sur les bords. On comprend en effet qu'en augmentant progressivement le rayon de courbure depuis le centre jusqu'au bord, on puisse annuler la distance entre le foyer des rayons marginaux et celui des rayons centraux. C'est la même méthode empirique qui servit à lord Ross pour la construction de l'objectif aplanétique de son grand télescope. Cette méthode avait le grave inconvénient d'être très longue, très délicate, et d'exiger un grand nombre d'essais et de tâtonnements. Elle a été considérablement perfectionnée, grâce à la découverte de l'argenture chimique du verre par Stemheil. Cela a permis de substituer au bronze le verre argenté, qui est moins lourd, moins coûteux, plus facile à réparer et susceptible d'un poli plus parfait. On construit d'abord des miroirs sphériques, on les rend ensuite aplanétiques en travaillant les différentes régions par la méthode dite des retouches locales, de Foucault : on sait à chaque instant de combien l'on s'écarte de la forme parabolique et dans quel sens, ce qui supprime les tâtonnements et les lenteurs de l'ancienne méthode.

2° On emploie encore les miroirs paraboliques comme réflecteurs pour les lampes qu'on place sur les voitures publiques, ainsi que sur les trains de chemins de fer. Ces sortes de réflecteurs ont aussi longtemps servi pour les phares, mais on emploie de préférence aujourd'hui des systèmes réfringents (lentilles de Fresnel).

5° En coupant par un plan passant par le foyer et perpendiculaire à l'axe deux miroirs paraboliques égaux, et les réunissant suivant leurs intersections, comme le montre la figure 48o, en sorte que leursdeux foyers coïncident, on obtient un double réflecteur avec lequel une seule lampe éclaire à la fois dans deux directions opposées. C'est ce système qu'on adopte pour les escaliers, afin de les éclairer dans toute leur étendue.

457. Applications des miroirs. — On connaît les applications des miroirs plans dans l'économie domestique. Ces miroirs sont aussi d'un fréquent usage dans plusieurs appareils de physique, pour donner à la lumière une direction déterminée.

Héliostat. — Si c'est la lumière solaire qu'on veut ainsi diriger, on ne peut conserver aux rayons réfléchis une direction constante qu'autant que le miroir est mobile. Il faut, en effet, donner à celui-ci un mouvement qui compense le changement de direction que prennent sans cesse les rayons incidents, en vertu du mouvement apparent du soleil. Ce résultat s'obtient à l'aide d'un mouve-

Fig. 485.

ment d'horlogerie qui fait varier l'inclinaison du miroir au moyen d'une tige à laquelle celui-ci est fixé. L'appareil ainsi construit a reçu le nom d'héliostat.

Goniomètre. — La réflexion de la lumière a encore été utilisée pour mesurer les angles des cristaux avec une grande précision, au moyen d'instruments connus sous le nom de goniomètres à réflexion.

Les miroirs concaves sphériques ou paraboliques ont aussi reçu de nombreuses applications. On s'en sert comme miroirs grossissants : tels sont les miroirs à barbe. On les a utilisés comme miroirs ardents. Enfin, nous venons de voir l'usage qu'on en fait soit comme objectifs dans les télescopes, soit comme réflecteurs pour porter au loin les rayons d'une source lumineuse placée à leur foyer principal.