CONDUCTIBILITE ELECTRIQUE. — LOIS DE POUILLET. FORMULE D'OHM

990. Conductibilité électrique. — L'expérience a démontré que l'intensité d'un courant électrique varie lorsqu'on modifie le circuit fermé que parcourt ce courant. Étant donnée une pile supposée constante, Yintensité du courant qu'elle fournit, c'est-à-dire la quantité d'électricité qui circule, en une seconde, dans le circuit

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métallique extérieur, dépend de la substance, de la section et de la longueur de ce circuit. L'étude des relations qui existent entre l'intensité d'un courant et les éléments du circuit constitue le problème de la conductibilité électrique.

Ce problème a été traité par deux méthodes : 1° la méthode expérimentale, appliquée par Pouillet : elle a conduit aux lois expérimentales de Pouillet; 2° la méthode analytique, méthode à priori appliquée par Ohm : elle a conduit aux lois de la conductibilité électrique, comprises dans la formule d'Ohm. Ces résultats sont d'ailleurs parfaitement conformes à ceux de la méthode expérimentale ; ils sont confirmés par les lois de Pouillet, et réciproquement.

991. Définitions préliminaires. — 1° Loi des conducteurs équivalents. — Si Ton relie les deux pôles d'une pile par un circuit métallique, dit circuit interpolaire, on constate à l'aide d'un rhéomètre1 quelconque (boussole ou voltamètre) que le courant a une certaine intensité. Si l'on augmente la longueur du circuit, ou qu'on substitue un fil fin à un gros fil, on constate que l'intensité I du courant est notablement diminuée, et devient I'<I. L'affaiblissement est incomparablement plus fort quand on substitue à une petite portion du circuit métallique une colonne d'un liquide conducteur.

Avant Pouillet, Davy était le premier qui eût comparé les différents conducteurs au point de vue de l'affaiblissement qu'ils font subir à l'intensité d'un courant, quand on les introduit dans le circuit interpolaire. 11 était arrivé à la loi suivante, dite loi des conducteurs équivalents :

U affaiblissement produit par deux conducteurs de même substance, introduits successivement dans un même circuit, est le même lorsque leurs longueurs et leurs sections sont dans le même rapport, c'est-àdire lorsqu'on a

r. « l S IV

On dit alors que ces deux fils sont équivalents, c'est-à-dire qu'ils s'équivalent au point de vue de l'affaiblissement du courant.

2° Longueur réduite. — Si, par exemple, le deuxième fil introduit a une section égale à l'unité de surface, soit 1 millimètre carré, on déduit de la formule [1] qu'il faut lui donner

1. Uhéomètre, signifie instrument mesureur de l'intensité des courants (de çeïv, couler, et [Uxçov, mesure).

une longueur X = - pour qu'il soit équivalent au premier fil.

X est ce qu'on appelle la longueur réduite du fil (/, s).

Etant donnée une série de fils (/, s), (/', sf), (/" ', s"), ... de substances différentes, on aura immédiatement leurs longueurs réduites en posant X = -, \'= -♦ ■ • • • s s

X, X', X"... représentent les longueurs des fils, de section 1, équivalents aux fils considérés et de même substance que ces fils.

5° Résistances. — Ces longueurs réduites ne sont pas comparables entre elles, parce qu'elles sont de substances différentes. On a cherché à les rendre comparables en les ramenant toutes à des longueurs d'une même substance, prise pour terme de comparaison.

Soit un fil (/, s), de substance quelconque, par exemple en cuivre; cherchons la longueur d'une colonne de mercure de 1 millimètre carré de section qui lui soit équivalente. Au lieu de

trouver - pour la longueur de la colonne de mercure équivalente,

nous trouverons — > c étant un certain coefficient. En appelant r

celte longueur de mercure, nous aurons r. = — • Pour un autre fil

(/', s') de la même substance, nous trouverions r' = —< et le coefficient c serait le même, car il ne dépend que de la substance. Pour un fil (/, s) d'une autre substance, par exemple de maille-

chort, nous trouverions r. = — Les coefficients rl9 r/... s 'appelas

lent longueurs réduites en mercure ou, plus fréquemment, résistances des fils (/, s), (/', s')... (nous verrons tout à l'heure pourquoi).

4° Coefficients de conductibilité. — Quand aux constantes c,^..., on les appelle coefficients de conductibilité du cuivre, du maillechorl, etc. Il est aisé de voir la signification physique de ces coefficients. Si l'on cherchait la longueur réduite en mercure d'un iil

de cuivre de section 1 et de longueur 1, on trouverait p = —

Par conséquent, la longueur p de la colonne de mercure équivalente varie en raison inverse de ce coefficient c; ce coefficient est donc caractéristique de la conductibilité de la substance: de là son nom.

CONDUCTIBILITE ELECTRIQUE.

5° Lois de la résistance. — D'après la formule ci-dessus

on voit que la longueur réduite en mercure ou la résistance d'un conducteur métallique est :

4° Proportionnelle à la longueur /;

2° Inversement proportionnelle à la section s;

3° Inversement proportionnelle au coefficient de conductibilité.

992. — Unités de résistance électrique : unité absolue et unité pratique (ohm). — On a rapporté la résistance électrique (au moyen d'une formule de définition que nous indiquerons plus loin) aux unités fondamentales : centimètre-gramme-seconde. L'unité de résistance ainsi définie est appelée unité absolue ou unité C.G.S. Comme cette unité est extrêmement petite, on emploie dans la pratique une unité secondaire, qui vaut cent millions d'unités absolues : on l'appelle Y ohm*. On évalue toutes les résistances en ohms, comme on évalue les capacités en farads, les potentiels en volts et les quantités d'électricité en coulombs.

L'ohm a été réalisé matériellement, comme le mètre, et l'on a construit un ohm-étalon % comme on a fait un mètre-étalon.

L'ohm-étalon est exactement égal à la résistance à 0° d'une colonne de mercure ayant une section de 1 millimètre carré et une longueur de lm,106.

Remarque. — La résistance d'un ohm est a peu près celle de 400 mètres de fil de fer télégraphique (4 millimètres de diamètre), ou encore celle de 48 mètres de fil de cuivre de 1 millimètre de diamètre.

993. Expériences de Pouillet. — Lois des courants thermoélectriques. — Pouillet a commencé par étudier le cas simple des courants thermo-électriques. Nous verrons

bientôt qu'on appelle élément thermo-électrique un système électromoteur formé de deux tiges de cuivre soudées aux extrémités d'une tige de bismuth (fig. 931).

Quand on maintient l'une des soudures à 100° et l'autre à 0°, on obtient un courant. Pouillet prit donc un de ces éléments, et en iéunit les deux pôles successivement par une série de fils conducteurs dont il avait déterminé d'avance les résistances ou Ion- FiS- 951-

1. Du nom du physicien allemand Ohm, à qui l'on doit la théorie complète de la conductibilité électrique.

gueurs réduites en mercure, r, r', r"... A l'aide d'une boussole, il mesurait l'intensité que prend le courant dans chaque cas : il avait ainsi i, ï, i"... En comparant entre elles ces deux séries de valeurs, il arriva à la loi suivante :

Le produit de la résistance du fil interpolaire par l'intensité correspondante du courant est un nombre constant pour un même élément.

On a donc

i r ■= i' r' = i" r" = constante.

Soit E ce produit constant, caractéristique de l'élément, on a

ir=E, d ou i = — r

Cette formule, qui exprime la première loi découverte par Pouillet, montre que Yintensité d'un courant thermo-électrique est inversement proportionnelle à la longueur réduite du conducteur interpolaire. Plus cette longueur réduite est grande, plus l'intensité est faible. Le conducteur interpolaire agit donc comme un obstacle au passage du courant. De là le nom de résistance qu'on donne plus habituellement à la longueur réduite en mercure.

994. Loi des courants hydro-électriques. — Pouillet répéta les

mêmes expériences de mesure avec un élément hydro-électrique dit constant1. Il réunissait successivement les deux pôles avec des conducteurs de résistances variables r, r' ... déterminées d'avance. Il introduisait dans chacun des circuits un rhéomètre dont la résistance était négligeable par rapport à celle du circuit total. Il avait ainsi /, i', i" ....

Loi. — En comparant ces deux séries de valeurs, il trouva que

i (r + R) = i' (r + R) = i" {r" + R) — constante,

c'est-à-dire que le produit de V intensité du courant par la somme r + R était un nombre constant pour un même élément de pile supposé invariable, r étant la résistance du circuit interpolaire et R une constante dépendant de l'élément de la pile.

Formule. — Soit E la valeur de ce produit pour un élément déterminé, on a

i(R+r)=E, d'où * = jjqr?

telle est la formule générale qui donne l'intensité d'un courant électrique.

1. C'est un perfectionnement de l'élément Volta. Il y en a de plusieurs sortes : nous les décrirons plus loin.

CONDUCTIBILITE ELECTRIQUE. 1199

995. Constantes d'un élément voltaïque. — On voit que l'intensité du courant fourni par un élément voltaïque quelconque est déterminée par les deux coefficients constants R et E. C'est ce qu'on appelle les constantes de l'élément.

Résistance intérieure. — La constante R, caractéristique de l'élément, joue dans la formule le même rôle que r. On peut donc l'assimiler à une résistance propre à l'élément de pile. On l'appelle, en effet, résistance intérieure de l'élément.

L'expérience prouve d'ailleurs que cette assimilation est bien fondée, car, en modifiant les surfaces polaires d'un élément de

manière à diminuer ou à augmenter sa résistance ( d'après la

formule r = — ), on diminue ou on augmente R.

Force électromotrice. — La constante E, également caractéristique de l'élément, a été appelée force électromotrice. On voit que, si la somme des deux résistances (R + r) devenait égale à l'unité de résistance, l'intensité nouvelle serait précisément égale à E.

Par conséquent, la force électromotrice d'un élément est Vintensité du courant que fournirait cet élément si la somme des résistances (intérieure et extérieure) était égale à l'unité.

Cette définition expérimentale fait comprendre pourquoi cette constante est caractéristique de la force, de l'énergie de l'élément employé.

996. Couplage des piles. — Étant donnés un certain nombre d'éléments de pile, sensiblement égaux entre eux, on peut les associer, ou, comme on dit, les coupler de plusieurs manières.

Considérons, par exemple, le cas de six éléments voltaïques. (Nous représenterons le pôle positif de chacun d'eux par un petit cercle blanc haché, et le pôle négatif par une circonférence noire de plus grand diamètre, fig. 932-955.) On peut former avec ces six éléments les quatre combinaisons suivantes :

Ie En réunissant les éléments par leurs pôles de nom contraire, comme l'avait fait Volta, on a une seule série longitudinale (fig. 932) , dont C représente le pôle positif et Z le pôle négatif.

2° On peut former d'abord deux séries parallèles de trois couples chacune (fig. 935), puis réunir en un même point les électrodes positives des deux séries, et leurs électrodes négatives en un même point Z. On a ainsi une nouvelle pile, dont les pôles sont C et Z.

5° On peut former de même trois séries parallèles de deux couples chacune (fig. 954), dont les électrodes de même nom vont encore concourir en une seule. Les pôles de cette nouvelle pile sont en C et en Z.

4° Enfin, on peut associer les six éléments comme on associe les jarres d'une batterie électrique, c'est-à-dire en réunissant d'une part tous les pôles positifs et d'autre part tous les pôles négatifs (fig. 935). On obtient alors une nouvelle forme de pile, dont le

Fig. 932.

Fig. 955.

pôle positif est en C, c'est-à-dire en un point quelconque de la ligne de jonction des six pôles positifs, et dont le pôle négatif est en Z, c'est-à-dire en un point quelconque de la ligne de jonction des six pôles négatifs.

Avec douze éléments, on pourrait réaliser six combinaisons différentes, et ainsi de suite à mesure qu'on prend un plus grand nombre d'éléments. Mais sous ces combinaisons variées il n'y n en réalité que trois modes distincts de couplage :

1° Le couplage par les pôles contraires employé parVolta, qu'on appelle couplage en série ou en tension (tig. 952) ;

2° Le couplage par les pôles de même nom, qu'on appelle couplage en batterie ou en quantité (fig. 955) ;

5° Enfin, le couplage mixte, en série et en tension, représenté par l'une des figures 955 et 954.

997. Constantes d'une pile hydro-électrique. — Ces divers modes d'association ont une grande influence sur l'intensité du courant de la pile. A chaque groupement correspond une force électromotrice totale et une résistance intérieure totale qui déterminent l'intensité du courant résultant. Pouillet a déterminé dans chaque cas la relation qui existe entre ces constantes de la pile et les constantes des éléments.

Il prit pour cela six éléments autant que possible identiques. Il détermina pour chacun d'eux les constantes. En général, ces constantes n'étaient pas absolument égales, mais elles différaient peu les unes des autres. On avait e, e% e" ... et p, p', p" ..

Il forma une pile avec ces six éléments : 1° d'abord en les couplant en série; 2° puis en les couplant en batterie; 5° en les couplant à la fois des deux manières.

Il retrouva dans tous les cas la loi générale

Par conséquent, dans le cas d'une pile, montée d'une manière quelconque, comme dans le cas d'un seul élément, l'intensité du courant est exprimée par la formule

E et R sont les constantes de la pile. En les déterminant dans chaque cas, il trouva qu'elles avaient des valeurs différentes suivant l'arrangement des éléments.

1° Pile en série. E = e + e' + . . . = S (e), R=P + P'+... =S(P).

Dans le cas où les éléments sont supposés égaux, les formules deviennent

2° Pile en batterie. — En supposant que les éléments soient

GANOT. 70

identiques, Pouillet trouva

E = e et R = l

Par conséquent la formule était

3° Pile mixte. — En général, le nombre des éléments étant n, on peut en réunir p en batterie et réunir ces p batteries ellesmêmes en une série de q éléments multiples, de telle façon qu'on ait pq= n.

Dans ce cas, comme dans les précédents, la loi est la même, à savoir

I (R + r)=V (R' + r') =1" (R" + r") = constante,

d'où en général

mais on trouve alors que E = qe et R = - et par conséquent I= </E

Par exemple, pour une série de trois batteries de deux éléments chacune, nous aurons

998. Comparaison des modes de couplage. — Les lois de Pouillet et les formules qui les expriment permettent de déterminer quel est le mode de couplage le plus avantageux à employer pour un nombre déterminé d'éléments, quand il s'agit de faire travailler le courant dans un circuit extérieur de résistance connue.

Pour n couples, de force électromotrice e et de résistance intérieure ç, montés en série, l'intensité I est donnée par la formule

Pour calculer l'intensité V du courant fourni par les mêmes couples lorsqu'ils sont montés en batterie (fig. 934), remarquons que la pile est alors assimilable à un seul élément multiple, de même force électromotrice e, mais d'une surface n fois plus grande, et par conséquent d'une résistance n fois moindre,

c'est-à-dire égale à -•

On a donc dans ce cas

e ne

~ o o h- nr

Ces deux formules peuvent s'écrire sous la forme

I = . . . et r = -

oiVles numérateurs sont égaux et où les dénominateurs ont une partie commune r + p. Par suite, si r = p, les deux dénominateurs sont égaux et Ton a I = I' ; si r est > p, on a P < I, et pour r < p on trouve I' > I.

Il y a donc avantage à monter la pile en batterie lorsque la résistance extérieure est faible, et en série dans le cas contraire.

Règle générale. — L'effet maximum d'une pile est obtenu par un couplage tel, que la résistance extérieure soit égale à la résistance intérieure.

En effet, supposons le cas général de N éléments associés en k séries parallèles de n éléments chacune. D'après les lois de Pouillet, chaque série a une force électromotrice ne et une résistance ftp, et pour k séries montées en batterie la résistance étant k fois moindre, on a

rj. T ne kne

[1] 1 = — ou I = -

kr -h no

La valeur de I sera évidemment maximum quand le dénominateur kr ■+■ ftp sera minimum. Soit m ce minimum : on peut le trouver en posant l'équation

[2] kr -+- ftp = m,

dans laquelle k et n sont deux variables dont le produit est constant, puisqu'on a /cji = N; on peut donc exprimer l'une en fonction de l'autre; on a,

N par exemple, & = -• Portant cette valeur de k dans l'équation [2], celle-ci

devient une équation du second degré par rapport à n. En la résolvant, il vient

-P ip

Or on ne peut prendre m2 < 4N rp, sinon l'on aurait une quantité négative sous le radical, et la valeur de n serait imaginaire. La plus petite valeur qu'on puisse donner à m2 est donc

m2 = 4N rp, d'où m = 2 V/Nr^:

telle est la valeur minimum du dénominateur. Portant cette valeur de m dans la formule [3], on trouve

1 Nô

[4] n = - \/N rp> d'où l'on déduit k = ■

? VN rp

Telles sont les valeurs de k et de n correspondantes au minimum du dé-

nominateur, et par suite au maximum de la fraction qui représente I. Or, s l'on cherche la résistance intérieure II de la pile ainsi couplée, il vient, en remplaçant n et k par leurs valeurs, R = r, c'est-à-dire que la résistance intérieure de la pile est égale à la résistance extérieure du circuit.

999. Théorie et Formule d'Ohm. — 1° Principe du calcul. — Avant Pouillet, — qui l'ignorait d'ailleurs, — le physicien allemand Ohm avait traité par le calcul le problème de la conductibilité électrique. Il avait simplement appliqué à la propagation de l'électricité dans un fil conducteur les calculs de Fourier sur la propagation de la chaleur par conductibilité. En partant des mêmes hypothèses, il fut conduit aux mêmes résultats, contenus eux-mêmes dans la même formule.

Fourier avait traité le problème du mur, c'est-à-dire de la propagation de la chaleur dans un milieu indéfini, sans pertes latérales. Ohm traita le même cas en substituant au mur un lil unique dont la surface latérale est parfaitement isolée, de manière que l'électricité se propage dans l'intérieur du fil sans déperdition latérale.

Fourier supposait un mur AB, d'épaisseur /, dont les deux faces étaient maintenues à des températures constantes a et b. Il se produisait deux périodes dans la propagation : 1° une période d'état variable, pendant laquelle le courant calorifique s'établissait; 2° une période d'équilibre mobile, pendant laquelle la température prenait une valeur constante dans chaque tranche du mur, mais décroissante d'une manière continue depuis a jusqu'à b. Il étudiait la conductibilité pendant cette dernière période. Le problème consistait à déterminer la quantité de chaleur qui passe, pendant l'unité de temps, dans chaque tranche du mur, quand le régime est établi.

Ohm suivit la même marche pour l'étude de la propagation de l'électricité. Au mur, il substituait un fil AB (fig. 936), de longueur l; aux températures constantes des deux faces, Ohm substituait ce qu'il appelait les tensions constantes aux deux extrémités et ce que nous appellerons, avec plus de précision et de rigueur, les potentiels constants a et b aux deux extrémités du lil. 2° Chute du potentiel. — Soit AB un fil métallique quelconque de longueur / et de section s, établissant une communication permanente entre deux conducteurs A et B, à potentiels constants Va et \o, par exemple entre les deux pôles d'une pile.

Considérons dans le fil trois tranches consécutives t, t\ t", d'épais- ~t~~t' t" g seur infiniment mince e. 11 résulte

de l'hypothèse d'Ohm que, lorsque Fig. 936. le régime est établi, la quantité

d'électricité que la tranche t envoie à la tranche V est transmise intégralement par celle-ci à la tranche suivante t". Cette hypothèse est l'expression même de l'idée que nous nous faisons du régime régulier.

Soient v, v', v" les potentiels successifs en ces trois tranches, et ^ une constante qui dépend du lil considéré, nous aurons, d'après les hypothèses précédentes, pour la quantité d'électricité qui passe de t en V pendant une seconde

et pour celle qui passe de t1 à l"

q = jx [v' — v")

Tr^-

Comme ces quantités sont égales, on a

;ji (v — V') = \x (u' — V"), d'0Ù V — V' = V' — v"

ni > v-^v"