LENTILLES DIVERGENTES

Images réelle

Néant.

Images virtuelles.

469. Aberration de sphéricité. — Nous avons vu qu'un faisceau lumineux qui tombe sur une lentille, parallèlement à l'axe principal, est réfracté comme

1. Au lieu de partir de l'équation fondamentale - ■+■ —. =7» on part souven

P P f de l'équation

On l'obtient sous cette dernière forme en faisant une autre convention relati-

GANOT. 42

s'il tombait sur un prisme. L'angle de ce prisme est variable; il croit depuis l'axe, où il est nul, jusqu'à la périphérie, où il est maximum. Les rayons périphériques sont donc plus déviés que les rayons centraux (fig. 536) ; le foyer principal G, correspondant au faisceau parallèle périphérique, est donc plus voisin de la lentille que le foyer principal F des rayons centraux, le seul que nous ayons considéré jusqu'ici. C'est en cela que consiste Yaberration de sphéricité dans les lentilles.

Elle se produit non seulement pour les rayons parallèles, mais aussi pour les rayons divergents ; mais il n'y a d'intérêt qu'à considérer la première, qu'on appelle quelquefois aberration principale. Il résulte de ce phénomène que l'image d'un point lumineux très éloigné n'est pas un point lumineux unique :

si l'on place un écran en F, on

obtient un cercle lumineux de rayon FH. Comme il en est de même pour chaque point de l'objet, on ne peut avoir de celui-ci qu'une image confuse.

La distance FG entre les deux foyers principaux est appelée aberration longitudinale; la distance FH est Yaberration latérale.

470. Aplanétisme. — Lentilles aplanétiques. — L'expérience prouve que si l'on accole une deuxième lentille à la première, les deux foyers G et F sont rapprochés de la lentille, et celui-ci plus que celui-là :

il eu résulte que leur distance FG, c'est-à-dire l'aberration, est diminuée. Une lentille supplémentaire peut donc servir à diminuer l'aberration. En la choisissant convenablement, on peut détruire complètement l'aberration : on produit ainsi Yaplanétisme du système convergent, et la lentille composée est dite aplanétique.

Il n'existe pas de lentille simple qui soit aplanétique comme le sont les miroirs paraboliques; mais, en choisissant convenablement les courbures, on peut rendre l'aberration minimum. On démontre par le calcul, et Ion vérifie par l'expérience, que le minimum d'aberration est atteint, pour une lentille d'indice moyen égal à n, lorsqu'on a entre ses deux rayons de courbure la relation

Fig. 536.

Pour une lentille en crown, dont l'indice est -, la relation devient R' = 6R.

vement aux signes. On convient de regarder comme positives ; les grandeurs comptées à partir du centre optique vers le cèle d'où vient la lumière, et comme négatives les grandeurs comptées vers Vautrecôte. I) ailleurs, une lois qu'on a admis cette nouvelle forme d'équation, on la discute de a même manière que l'ancienne et l'on démontre qu'elle a la même généralité.

Mais, nous préférons V ancienne forme U -+- - = -J» pour deux raisons : la première, c'est qu'elle identifie la théorie des lentilles avec celle des miroirs et qu'elle n'exige aucun effort de mémoire; la seconde, c'est qu elle çxpnme géométriquement, sans aucune convention algébrique et sans ambiguïté, le cas le plus simple et le plus général des lentilles convergentes.

LENTILLES. 65<J

Si l'on retournait une pareille lentille, son aberration deviendrait plus de trois fois plus grande. Cela montre l'inconvénient qu'il peut y avoir à retourner les verres dans les instruments d'optique.

Remarques. — 1° Emploi des diaphragmes. — On peut atténuer l'aberration des lentilles ordinaires en plaçant devant leur surface des diaphragmes percés d'une ouverture centrale : de cette manière on laisse passer les rayons voisins du centre, et l'on arrête ceux qui tendent à se réfracter vers les bords. On se rapproche ainsi plus ou moins du cas des rayons centraux, et l'on évite l'aberration.

2° Lentilles à échelons. — Ce sont des lentilles imaginées par Fresnel pour corriger empiriquement les effets de l'aberration de sphéricité. Elles sont employées dans les phares pour transformer en faisceau parallèle les rayons divergents d'une source placée à leur foyer principal. Nous y reviendrons à propos des phares (526).

471. Aberrations dues à l'épaisseur des lentilles. — Dans la théorie précédente, nous avons toujours supposé les lentilles infiniment minces, puisque nous avons négligé leur épaisseur. Il en résulte que la vérification des formules, même en se restreignant au cas des rayons centraux, laisse souvent à désirer. Il se produit, dans la réfraction de la lumière par les lentilles un peu épaisses, une véritable aberration, qui est due à leur épaisseur. Gauss a étudié cette perturbation, qui a une grande importance dans l'application de la théorie aux instruments d'optique, et il a établi de nouvelles formules qui permettent de construire les images fournies par les lentilles et d'en calculer les éléments en tenant compte de V épaisseur. C'est ce qu'on appelle la théorie des lentilles épaisses de Gauss. Nous allons en donner une idée en indiquant quelques-uns de ses résultats fondamentaux : en particulier, l'équation aux foyers conjugués, la détermination des points nodaux et la construction des rayons sans déviation. Nous nous bornerons d'ailleurs au cas des rayons centraux, qui est seul susceptible d'une application pratique à la théorie des instruments d'optique.

472. Notions sur les lentilles épaisses. — Théorie des rayons centraux. — I. Réfraction de la lumière par un milieu indéfini à surface réfringente convexe. — Supposons, par exemple, que la lumière passe de l'air dans un milieu plus réfringent, tel que le verre, limité d'un côté par une surface sphérique convexe, et illimité d'antre part.

Soit P un point lumineux situé sur l'axe principal de la surface (fig. 557) ; soit PO un rayon lumineux, normal à la surface, et qui y pénètre sans déviation ; PI un autre rayon lumineux quelconque, qui se réfracte suivant \Y\ : le point V\ où se coupent les deux rayons réfractés est Y image ou le foyer conjugué du point P. Cherchons une relation entre les distances 0P = p et 0Y\ =p\ (comptées en valeur absolue comme dans les calculs précédents).

Les deux triangles ICP et ICP'n qui ont même sommet I et leurs bases situées sur la même droite, ont par suite même hauteur : leurs surfaces sont donc entre elles comme leurs bases. On a donc

surf. ICP CP surf. ICP' ~~ CP'. '

ou, en remplaçant CP par sa valeur p -+■ Il et GP'4 par sa valeur p\ — R, surf. ICP p + R

surf. ICP', p\ — R

D'autre part, on peut exprimer les surfaces de ces triangles en fonction de leurs angles au sommet et du produit des côtés adjacents. On a

surf. IPC==|(IP.IC. sin PIC)

ou bien, en remplaçant sin PIC par sin i (qui lui est égal), 1C par sa valeur R

Fig. 537.

et 1P par la valeur p (qui jst égale à IP dans l'hypothèse des rayons centraux).

On aura de même

surf. ICP = - (p . R . sin i).

surf. ICP', = - {p't . R . sin r)

et, en divisant ces égalités membre à membre, et en simpliiiant, il vient

surf. ICP p surf. \.W\~n' p\

En comparant les équations [1] et [2], on en déduit l'égalité

Enfin, en chassant les dénominateurs, et en divisant les deux membres de l'égalité par le produit Rp//4, il vient

Telle est V équation aux foyers conjugués, dans le cas où nous nous sommes placés. Connaissant Ret », qui définissent le milieu transparent, et p, qui détermine la position de lobjet lumineux, on en déduira ?>', qui détermine la position de l'image. Cette équation est générale, comme l'équation analogue du cas des lentilles minces

LENTILLES

Remarque. — Les deux points P et P'4 sont des foyers conjugués, au même titre que les points P et P', que nous avons déterminés dans le cas des lentilles minces. Par conséquent, un point lumineux qui serait placé en y\ dans le verre, émettrait des rayons lumineux qui se rétracteraient, de manière à aller se couper au point P, dans l'air.

II. Réfraction de la lumière par un milieu indéfini à surface réfringente concave. — Au lieu de traiter le cas général, comme précédemment, plaçonsnous tout de suite dans un cas particulier, qui nous servira ultérieurement pour établir la formule des lentilles. Supposons que le point lumineux, au lieu d'être réel, soit un point lumineux virtuel, tel que P\ (fig. 538). (Ce sera, par exemple, le sommet d'un faisceau convergent, qui aurait été obtenu par

Fig. 538.

la réfraction à travers une première surface convexe telle que la précédente). Nous supposons ici que ce faisceau convergent soit arrêté dans sa marche par une surface concave de verre, le séparant d'un autre milieu transparent, qui serait l'air extérieur.

Parmi les rayons lumineux qui composent ce faisceau convergent, il en est un, tel que 00', qui tombe normalement sur la surface concave : celui-ci poursuit sa route sans déviation suivant 0P'<. Considérons un autre rayon incident quelconque tel que IP'., : il tombe en I' sur la surface concave, en faisant un angle d'incidence que nous appellerons r' (par analogie avec les prismes), et il sort du verre en faisant un angle de réfraction, que nous appellerons V . L'angle i' étant plus grand que r', le rayon réfracté vient couper l'axe principal en un point P' plus rapproché que le point V\ : ce point P' est le foyer conjugué réel du point lumineux virtuel P'd. Cherchons l'équation aux foyers conjugués de ces deux points.

Soit px la distance 0'P'4 etp' la distance O'P', comptées positivement en valeurs absolues, suivant nos conventions précédentes. Considérons encore les deux triangles PCP', et PCP' qui ont même sommet I' et même hauteur. Ils donnent, comme ci-dessus,

fi!

sort. PCP', CP^ C'O' -h O'P',, Cl"

Va

surf. PCP' ~ C'P' C'O' -h O'P' ~~ 11' +p'

On a, de même, en appliquant la formule trigonométrique de la surface,

surf. PCP', VC x I'P', x sinP'.PC R' .p, sin r' px 1 surf. PCP' PC x I'P' x sin PTC ~ W . p' sin i' ~~ p' ' n

En comparant les égalités [1] et [v2], il vient

R' + pi __ 1 fi R' h- p' n p'

En chassant les dénominateurs, et en divisant les deux membres de l'égalité par R'Pip'i on a l'équation

Pi P n

C'est Véqualion aux foyers conjugués, dans le cas où nous nous sommes places. Connaissant R' et — » qui définissent le milieu transparent, eipit qui détermine la position du foyer lumineux virtuel P'4, on en déduira p\ qui détermine la position du foyer conjugué réel P'.

Cette équation est générale comme la précédente, et elle est réciproque, c'est-à-dire que si le point lumineux était en P', elle déterminerait la position du nouveau foyer conjugué, lequel serait alors en P'4.

Remarque. — En appliquant la règle algébrique qui nous a servi précédemment dans la théorie des lentilles minces, on pourrait déduire l'équation [b] de l'équation [a], 11 suffirait de changer de signe dans l'équation [a] les grandeurs

qui ont changé de sens dans la figure 535, et de changer l'indice n en - à cause

du passage inverse de la lumière du verre dans l'air. On retrouverait alors l'équation [b] sans nouveau calcul.

III. Réfraction de la lumière par une lentille épaisse. — Équation aux foyers conjugués. — Les deux cas de réfraction examinés ci-dessus nous conduisent directement au cas de la réfraction par une lentille épaisse.

Soit, en effet, une lentille épaisse 00' (lig. 558), P un point lumineux situé sur son axe principal. Cherchons le foyer conjugué P' de ce point lumineux.

Le rayon normal PO traverse la lentille sans déviation suivant 00' et sort suivant O'P'. Il suffit de trouver un autre rayon réfracté. Considérons un rayon incident quelconque tel que PI. Il subit une première réfraction suivant IIP',, qui est définie par l'équation [a]. En appelant p la distance OP qui est connue, et//,, la distance 0V\ qui est une inconnue auxiliaire, on a entre ces deux grandeurs la relation

De même, la deuxième face de la lentille fait subir au rayon 11' une seconde réfraction, de manière que le rayon émerge suivant I'P', et vienne couper l'axe en un point P' qui est Yimage ou le foyer conjugué du point P. Cette seconde réfraction est déterminée par l'équation [b]. En appelant^' la distance O'P' qui est l'inconnue, et pi la distance 0'V\ qui est une inconnue auxiliaire, on a entre ces deux grandeurs la relation

px p' v R'

On a de plus entre les inconnues auxiliaires px et p\ et l'épaisseur e de la lentille la relation

[c] V'i=Pi+e>

On peut donc éliminer entre les trois équations [à], [b] et [c\ les inconnues auxiliaires pi et p\ et il restera une relation entre p, p' et les éléments de la lentille épaisse {e, n, R et R'), qui sera Vèquation aux foyers conjugués.

LENTILLES

Remarque. — Ce calcul fournit un nouveau moyen d'établir l'équation aux foyers conjugués dans le cas des lentilles minces. En effet, les équations [a] et [b] peuvent se transformer de la manière suivante (après élimination de p\)l

n Pi ~

Si nous faisons la somme de ces égalités membre à membre, en supposant e négligeable, les deux termes en px s'annuleront dans la somme, et il viendra

C'est l'équation aux foyers conjugués des lentilles minces.

4° Points nodaux et rayons sans déviation. — Définitions. — Dans une lentille épaisse, il y a toujours un centre optique, c'est-à-dire un point tel, que tout rayon qui est réfracté dans l'intérieur de la lentille, en passant par ce point, émerge parallèlement à sa direction d'incidence. Le centre optique se déterminera dans une lentille épaisse de la même manière et par la même équation que dans une lentille mince. Cette équation de définition ne s'applique même rigoureusement qu'au cas où la lentille a une certaine épaisseur. Mais si le rayon lumineux qui passe par le centre optique ne subit pas de déviation, il subit un déplacement, comme dans le cas d'une lame épaisse à faces parallèles. Par conséquent, un point lumineux tel que Q, situé en dehors de l'axe principal de la lentille épaisse (fig. 539), ne possède pas d'axe secon-

Fig. 539.

daire proprement dit, c'est-à-dire de direction telle que QC, suivant laquelle il n'y a ni déviation ni déplacement. Mais il existe toujours, pour un point tel que Q, une direction d'incidence à laquelle correspond un rayon émergent parallèle.

On peut construire cette direction au moyen des points nodaux. On appelle points nodaux les foyers conjugués n et n' du centre optique de la lentille par rapport à ses deux surfaces réfringentes 10 et PO'.

Soit QIPQ' le rayon lumineux émané du point Q, qui émerge sans déviation, en passant par le centre optique G de la lentille épaisse (fig. 539). Soient n et n' les points où l'axe principal est coupé par les prolongements des rayons QI et

QT. Nous allons démontrer que les points n et n' sont les points nodaux, cidessus définis.

Cherchons, en effet, quel serait le foyer conjugué par rapport à la surface réfringente 01 d'un point lumineux qui serait placé en C. Le rayon, dirigé suivant l'axe principal OC, traverse la surface sans déviation : donc le foyer conjugué de C est sur cette ligne. Il suffit d'avoir un autre rayon réfracté, correspondant à un rayon incident émané de C. Or, d'après le principe du retour inverse des rayons, puisque IC est, par construction, la direction de réfraction qui correspond à la direction d'incidence QI, inversement le rayon réfracté dans l'air qui correspond au rayon incident CI dans le verre, est précisément IQ. Ce rayon coupe, par son prolongement, l'axe principal en n : donc n est le foyer conjugué de C par rapport à la surface 01.

On démontrerait de la même manière que n' est le foyer conjugué de C par rapport à la surface réfringente OT. Donc les deux points n et n' sont des points invariables, comme le centre optique lui-même : on pourrait d'ailleurs les déterminer à l'aide des équations aux foyers conjugués [a] et [b] (2°).

5° Propriété des points nodaux. — Tout rayon, tel que QII'Q', qui, dans son passage à travers la lentille, coupe Taxe au centre optique, est un rayon qui sort parallèlement à lui-même : cela est une propriété du centre optique. En outre, ce rayon est tel, que les prolongements de ses deux parties extérieures passent par les deux points nodaux : cela est la propriété caractéristique des points nodaux.

6° Construction du rayon qui traverse la lentille sans déviation. — Le rayon, tel que QII'Q', joue par rapport aux points lumineux tels que Q', extérieurs à l'axe principal, le même rôle dans le cas des lentilles épaisses que Taxe secondaire dans le cas des lentilles minces. C'est sur ce rayon sans déviation que doit se trouver le foyer conjugué Q' : c'est ce rayon qu'il faut savoir tout d'abord construire.

Cette construction se fera aisément à l'aide du centre optique C et des points nodaux. On commencera par placer les points C, n et n' sur l'axe principal, ce qui sera facile, étant donnés la définition du point C et les équations aux foyers conjugués [a] et [b]. Joignons le point Q au premier point nodal n : la direction Q/i est évidemment celle du rayon incident ; joignons le point 1 au point C, et prolongeons jusqu'à l'intersection I' avec la deuxième face de la lentille : la direction ICI' est évidemment le trajet du rayon dans l'épaisseur de la lentille ; enfin, joignons n'V et prolongeons à l'extérieur ; cette direction PQ' est évidemment le rayon émergent. C'est sur cette direction que doit se trouver le foyer conjugué du point Q.