Première Partie. Livre II

H S entend que cette équation reste en vigueur, si Ton y change v en v', v' en Vy V en V, lo en û>', û>' en û), ;r en tt', t:^ en ;r, Z'en J", P' en F, ly en 3y', ly' en ly, j2? en f?' et finalement n en — n.

59. Au lieu de donner des expressions, analogues à la précédente, de />e'"^'""*'^ , z^'e^^""*'^, etc., je vais maintenant rassembler, dans des groupes séparés, les termes de divers degrés, ce qui sera le plus commode lorsqu'on en fera usage. Dans les listes suivantes, je me bornerai, toutefois, à ne mettre en évidence que les termes jusqu a ceux du cinquième degré inclusivement, vu qu'on n'aura que très rarement l'occasion d'aller plus loin. A temps et lieu, nous déduirons les termes appréciables, d'ailleurs peu nombreux, qui appartiennent aux degrés plus élevés que le cinquième.

A) Termes du degré zéro.

Il n'y a pas de termes du degré zéro outre ceux qui figurent dans l'expression de e*'*^*'-"'^; en ne considérant que ces termes, et en se rappelant les valeurs

So — ^0 — * J

on écrira tout simplement:

OU bien, en changeant v en v\ i;' en î;, û>' en o>, V en V et n en — n,

(9 j o,o,oj e — e

B) Termes du premier degré.

Des termes du premier degré ne pro^'iennent que des développements des fonctions c*«(''-*'> , pe'""^'^''^ et />'e*"^'— \ En ne tenant compte que de ces termes, on aura les expressions

(1 0,0,0,1; c — wi lye

— £1 3yc

228 Traité des Orbites des Planètes.

(lO, l,0.l) />e*"(^-"') = i^e-K--/')+f[(n+l).-nV-«-n«,J

On aura également, après avoir changé v en v\ etc.,

( I o', 0,0.1) e'"^''-'') == e«i^M 3y'g-i(r-/'')-i[(«-l)r-«V+«-nH

£*»y'.-l ^'g<(7r'-r)-<[(n+l)»'— wV'-oi'-iîH

I ^/i,l ^g~<(;r-n-i[nr'-(«+l)V'~«cu]

etc.

C) Termes du deuxième degré.

En ne tenant compte, toujours, que des termes du degré indiqué, nous aurons:

(11, 0,0,2) e"'^'~''> = [— fj'^jy'' — Êjf.o^«]e'(»--«v-n«,')

I gi«v,-2^îg-2*(ff-/')+f[(n+2>-nV-2a,-ii«»'J

I g«y,2 2g2i(7r~r)+*[(n— 2)r— nV+2a»-î»io']

^,-1 c<'»-lV.-'yoyy'g-»('^-0-*(»r'-/")+'[(« + l)»-(«-l)V-ctf--iico']

p»,-l g(n-l)y,l^^y(Jr-/'j-*(ir'-/")+i[(n-l)r-(ii--l)V+«,-na,'J

^,1 g(n+l)y',-l^y^/^-<(;r-/')+<(7r'~/")+f[(« + l)»-(n+l)V-iu-fia,'J

^.1 g(« + lW ^jo'g«^-^')+'(^-n-f f[(»-l)t?-(n+l)V-f a»-W]

r fin,-2 /2^-2/(ff-/")+f[ntJ-(n-2)V-nû»']

(il, 1,0,2) ^e*"<'-'> = — J £l'f,-'t,j^e-^K'-n+iUn+i)'-ny-3a.-n«]

1 çiif,1^3^<(;r-n+<[(«-3)»-nV+2w-ne»J

J- 1 A»»-' y.^'g-<(T-/')-<(»r'-/")+f[(n+l)»-(ii-l)V-a.-«c«J L i ^»-l ^g»(^-/')-^*'-/")+'[(n-l)r-(n-l)V+«-»i«']

I 1 e«,l ^^y(ïr-r)+«jr'-r)+f[(»-l)»-(ii+l)V+«-fiai'J (11*012) /> V"^""*'^ = - g<«-l)f ,-1^^'^-Kïr-/')-i(7r'-/'')+<[(n+l)t»-(n-l)V-a»-««'J

, I ^-1,-1 /2g~3f(;r'-/")+<L»«'-(«-2)V-nw'] -1.1 fA"-''^ 4- £n + l,— 1\ /3^*(nr-nV-iitt»') I i ^+l,l^'«g«(«''-/")+f[n»-(n+>)V-fi«'J

+ * ^ 3^-«<(;r-/')+<[(n+a)»-nV-2«--ii<u']

230 Traité des Orbites des Planètes.

(il I 1,2) />/> V"^*'"*''^ = i™'^-f(r-/')-f(;r'-r)+i[(« + l)r-(«-l)V-cu-Wj

I 1 /2^-((;r'-r)+i[rttJ-(n-2)V--Na,'l J- I ^'5g3*(ïr'-/*)+/[np-(n+2)V-«c«'J ^

D) Termes du troisième degré.

(12,0,0,3) e*«^^-'''>= + ^ny.-1^3g-f(;r-/')+.[(« + l)r-«V-«.-«a,'j

1 e^V'.! V) V(^- n+*[(« -Dr-nV+ctt-nœ'J

^n^,— 8„8^— 8i(n-— /')+'[(»i+8)p— nV—Sw— ncy'J ^nç'»8„8-8Ks^— /•)4-'[(n— 8)r— nV+8o»-Mc»']

Cl C3 7 7^

Çi W2 7 7^

I p»i,-l^(«-l)vr,-2^2^'g-2f(;r-/')-<(7r'-/") + ^[(n + 2)r-(n-l)V-2r«--Hco) I pi -1 ^(n-l)f ,2 2 /g2*(;r-/')-f(;r'-/")+f[(n-2)r-(n-l)V + 2ty-na,'J I. £n,lg.(n+l)v%-2^2 /^-2K;r-/')+((r-r)+f[(n + 2)c-(«+l)V-2co-W]