Première Partie. Livre II

d*où il découle:

pT == l cos L,p ces [n(v — v') + mv'] — l ^uL.p sin [n(v — v') + mv'],

ainsi qu'une formule analogue de p'T, il suffira, pour arriver au résultat cherché, de prendre, des formules que nous venons d exposer, le terme appartenant à largument dont il s'agit, de multiplier son coefficient par î, et d'ajouter à son argument Tangle L.

Ainsi par exemple, s'il s'agit de mettre en évidence les termes du troisième degré à caractère diastématique s'obtenant de l'expression de cos y H, et dont la partie de l'argument qui dépend de v et V sera v seul, on trouvera tout de suite l'expression que voici:

L cos 7H= —\i{P + r^ cos[v — m' — iTt' — r)]

+ Jiy'r cos[v ^& — 2»^{7t' — r) — 2{ii— S)] + Jy/'' cos [v + s' — 2W + {tt' — r) — 2{Q! — ff)] + Irj'ir cos [v — &— »+»'— {TT'—r) — {Q—e) + {Q'—0')] + l rlIT cos [v — S' + * — *'— {7t!—r) + (i2— B) — (Û'— »')] — f3y'//'cos[v+©'— * — *' + (;r'— rO — (Û-») — (i2'— ^)].

On se convaincra facilement, en inspectant les formules exposées précédemment, que les termes omis dans l'expression de cos yH que nous avons donnée dans le n° 50, ne contribueront en rien, en ne considérant que la première puissance des fonctions diastématiques, aux termes de la forme envisagée.

En étendant les procédés que nous venons d'expliquer aux termes d'un degré plus élevé que le troisième, il y aurait très peu à ajouter aux règles précédentes. S'agirait-il, par exemple, des termes du quatrième degré par rapport aux fonctions anastématiquçs et du premier degré relativement à oy ou à 07', on les trouverait tout simplement, en introduisant, dans les expressions du quatrième degré du n° 50, les valeurs précédentes de cos 2v', cos (v — v'), etc. Mais si l'on cherchait des termes affectés d'un facteur

320 Traité des Orbites des Planètes.

diastématique du troisième degré, il faudrait dabord qu'on mît en évidence les termes du troisième degré des fonctions cosv', cos(v — v'), etc. ce qui s effectuerait en introduisant, dans les formules (12, 0,0,3), . . . des valeurs spéciales de n, et en ajoutant aux arguments certains multiples pairs de v . Après en avoir trouvé les résultats, les termes demandés s'obtiendraient comme auparavant.

H pourra se monti'er avantageux, à certaines occasions, d'exprimer les cos nH de la manière que nous avons indiquée dans le numéro 51, c'est-à-dire, au moyen des fonctions J et j', de leurs dérivées et des fonctions trigonoinétriques des multiples de l'angle v — v'. Pour opérer, dans les expressions qui se présentent alors, les transformations .destinées à remplacer l'argument v' par V, ainsi que pour établir les expressions des produits pl^e^^^~^\ etc., il serait utile de s'être procuré, un tableau renfermant les expressions transformées de tous les produits dont il s'agit. Mais comme un tel tableau se dresse presque immédiatement, en vertu des formules (20) — (26) et (39) — (41), je me dispense de le communiquer.

LIVKE TKOISIÈME.

Développement de la fonction perturbatrice.

Dans les équations différentielles dont l'intégration porte sur la détermination des coordonnées d'une planète comme fonctions du temps, on donne, avec Lagrange, aux composantes des forces troublantes la forme de dérivées partielles d'une seule fonction nommée fonction perturbatrice. Cette fonction, symétrique par rapport aux coordonnées des diverses planètes et ne dépendant, ni immédiatement du temps, ni des dérivées des coordonnées, est néanmoins dune nature tellement compliquée qu'il n'y aurait aucun espoir de parvenir aux intégrales des équations du mouvement, ni même à des valeurs approchées de ces intégrales, si Ton voulait retenir les dérivées dont nous avons parlé sous leur forme primitive. Il en naît la nécessité de développer la fonction perturbatrice d'une manière telle qu'on en puisse détacher les termes exerçant l'influence la plus considérable et qui, mis au lieu de la fonction totale dans les équations du mouvement, les rendent intégrables au moyen d'approximations successives.

Déjà, plusieurs méthodes d'effectuer le développement dont il est question sont mises en usage; mais, de ces méthodes, il faut, lorsqu'il s'agit d'établir la théorie absolue d'une planète, éviter toutes ceUes qui n'ont pas le caractère purement analytique. Il faut, en d'autres mots, pour atteindre le but proposé, éviter les procédés d'interpolation et se restreindre à n'employer qu'un mode de développement tel que les diverses quantités variables d'où dépend la fonction perturbatrice, les fonctions diastématiques et anastématiques non moins que les fonctions trigonométriques ordinaires, soient mises, algébriquement, en évidence.

Parmi les méthodes purement analjrtiques maintenant en usage, il suffit de mentionner celle de Laplace, notablement perfectionnée par Poisson

Traité des orbites absolues. 41

Traité des Orbites des Planètes.

et Leverrier; celle de M. Newcomb, laquelle, au fond, repose sur le même fondement que la méthode de Laplace; la méthode de Hansen et finalement la méthode de M. Backlund qui dérive du même principe que celle de Hansen, et qui ofEre, au calculateur, au moins les mêmes avantages que celle-ci, mais dont le mécanisme paraît plus simple que les procédés de Hansen.

La méthode que je vais employer dans l'ouvrage présent, offre les mêmes avantages que les méthodes de Laplace-Leverrier et de Newcomb; mais elle n est en même temps aucunement inférieure, ni même au point de vue du calcul pratique, à celles de Hansen et de Backlund, notamment si Ton emploie les tables de M. Masal;^ elle tient, pour ainsi dire, le milieu entre les méthodes énumérées. J'en ai donné d'ailleurs, il y vingt cinq ans, un aperçu rapide.^

Mais avant d'entrer dans l'exposition du détail de la méthode dont il s agira, je vais rappeler certaines propriétés de la fonction perturbatrice qui nous seront utiles dans la suite.