Première Partie. Livre III

78. Venons maintenant au cas général où les indices u et p' ont des valeurs quelconques, et supposons que les coefficients ii soient exprimés moyennant des formules du type

(24) i2(n,s,sV = 5:Hr;,.,,r;'";

il sensuit, eu égard aux expressions (19), (21), (22) et (23), que les H.;^. ,,y seront encore exprimés par la formule (23), en mettant toutefois Grl;»^,^ au lieu de K^'^ . Donc, en désignant par N^;'.'^ ce que devient H";J lorsqu'on met Kg'^. au lieu de K^'J , dans la formule (23), il viendra:

(25) H'-.'..,,, = îr,(y , v')N-;î/» + ^,{u , v')N.-;i-.' + . . . .

Dans cette formule, on a mis en évidence les deux indices v et v' d'où dépendent les facteurs jr. Ces facteurs dépendent encore du nombre n, il est vrai, mais ce serait inutile de mettre en évidence cet indice, vu qu'il ne change pas dans nos formules.

Puisque le facteur (c^{o , o) est indépendant de n et toujours égal à lunité, on aura avant tout:

Nll,^0 ITn,i TJn.i •

Quant aux expressions des facteurs ^g{v , v»'), on s'aperçoit facilement qu'ils ne sont pas autre chose que les coefficients des divers SJ;"'^ entrant dans les formules (16); on a en conséquence:.

Fi(ï , o) = 2,

Fi(2 , 0)= 2W+ I, jr,(2 , o) = 4,

etc. etc.

Pour obtenir les expressions des H^;'^^, il faut évaluer les N";^'^, g étant plus grand que zéro. Dans ce but, nous introduirons, dans la formule (23), les valeurs des K^;^., en attribuant à g les valeurs 1,2,3. Nous parviendrons de la sorte aux expressions suivantes:

Traité des orbites absolue». 4g

foi' .

fo(o.

fo(2.

etc.

Traité des Orbites des Planètes

7i(ll + I) 3 + 2W+ \ ,

xr-.'.i- 1 -.n ;"('^+') »(» + »)('» + 2)

N,r= 9 + 7^ + 5^-^^+3"^^ t'ilr-' Nrt ' = - 6 - 5« - 4 "-^^^^^ - 3 !^+-iH!^^),

Nï'i-'= 1+ «+ 'li^i^ti)+ !iOL+j)(l±.2),

N-.'=-3.-.4«- 4^-^ Nîf =-68-34"-i2ÎL4±i),

'u,3 — i«j -r iw#^ -r ^ j— ^ — ,