COS W

' ^ = 2 WT^ sin W + 2 PF<,"" sin 2 w +

d'où l'on tire immédiatement, eu égard à l'équation (lo), la relation

Ensuite, puisque, ce qui est facile à voir, les fonctions W^ doivent satisfaire la condition exprimée par l'équation (44') du n° 7 1 , nous aurons :

(41) i'+pf-^ + i^+p')'-^=w^-

Arrêtons-nous un moment pour déduire, d'une manière inimédiate, l'équation dernièrement énoncée. Dans ce but, rappelons-nous d'abord les relations

Considérons ensuite les équations (30) du n** 80, dont le type général est

celui-ci:

W^ = const. r'"r""2)-^''"+^>.

Il s'ensuit, par différentiation,

I d Wm fn / , \ r — r' COS w

yy^ dr r ^ ^ r -^ r — 2rr cosw

I d Wfn tn / , . r — r COS w

TTT- -Z-^ = -^ (2m -f 0 ^-; -. ; ,

fffft dr r ^ ^ r H- r — 2rr cosw

Traité des orlntes abaotues. 53

418 Traité des Orbites des Planètes.

d*où l*on tire, après avoir multiplié la première équation par r et, la seconde par r',

aW^n , /^^m TT7

ce qui revient à Téquation (41).

Les dérivées , " , liées avec les , " par des relations de la forme

de Féquation (41), s'obtiennent maintenant de deux manières différentes: en premier lieu par différentiation directe de Téquation (19). On arrivera de la sorte à l'expression

+ •••}(/>) vr-

L'autre mode d'exprimer les dérivées dont il s'agit est fondé sur l'équation (41). En y introduisant la valeur de W^^^ selon Téquation (19), ainsi que celle de sa dérivée par rapport à (yo), il viendra

(I +(/>')) ^- = SSj r"(n , s , s')o.. - nn , s , s'),.,» +.. .

En effectuant les multiplications demandées, on arrivera à une expression de " qui, comparée avec l'équation (42), conduit à la relation générale que voici:

— (s + i)[r'-(n, s + I , s')... — 'Vin ,8+1,8'— i),... + . . .

— (s — \)[r"'{n , s , s'X,. — r^in , s , s' — 1),... + . . .