Première Partie. Livre III
89. Le cas où la planète dont il s'agit de déterminer le mouvement, est plus éloignée du soleil que la planète sollicitante, exige quelques remarques ultérieures. Fixons avant tout les notations
p, r" g'ag
^ ~(c)av" (c')ah
De ces équations, tout analogues avec les équations (i), (2), (3), découlent les suivantes, analogues aux équations (i"), (2"), (3"),
r" av
R'= ff^rr-l~,--,l
équations qui s'écrivent aussi de la manière suivante:
ï'=-^(")'(0"fr+:-«'-^
La forme sous laquelle nous avons mis ces trois fonctions est choisie afin de mettre en évidence le rapport —y , dont nous supposons le développement établi. En partant de ces dernières formules, il sera donc facile d'établir les développements des trois fonctions dont il s'agit. Cherchons cependant, pour les obtenir d'une voie plus courte, à exprimer les P', Q',
416 Traité des Orbites des Planètes.
R' par les P , Q , R, dont nous supposons les développements déjà établis. On y parvient facilement en utilisant les identités
^~;ï — ;^ — 7» + irs—-sy
fiir'r^ (c)
à laide desquelles la troisième des équations (35') nous donne celle-ci:
^^ ^ fiir\c) (c) \r r^ )
Avec le résultat obtenu, il sera facile de tirer, des deux premières des équations (35")? ^^s suivantes
(c) \r) A r ixir\c) (c ) V ^ /
/iJrV) "^ (c') V r')\ av '
d OÙ l'on déduit, par un calcul assez simple, que je passe cependant sous silence, les expressions en P et en Q. Ce sont, en effet, les expressions en R qui se prêtent le mieux aux développements dont il est question maintenant.
90. Mais on parviendra, d'une voie encore plus facile, aux résultats demandés.
En ne considérant dabord que la partie principale de la fonction
perturbatrice, c'est-à-dire la partie qui s annule avec —, on exprimera les
trois fonctions définies par les équations (35) moyennant des formules tout à fait semblables à celles qui ont servi à établir les expressions de P , Q et R. Or, en supprimant les seconds parties des fonctions H et Q! ^ on aura la relation
qui, du reste, nest autre chose que Téquation (56) du n^ 72, si Ton en
supprime le second membre. On parviendra maintenant, en considérant Téquation (7), au développement
(38) ^^ if =^{TF, + TF.h+TFX + ...},
les W^y donnés par l'équation (8), étant par conséquent, les mêmes dans les deux développements (7) et (38).
On aura ensuite:
