COS W + 2 — COS 2W

9p dp 9p

a&^Q'C") = i^l{2 Tf <") sin w + 4 W^"'^ sin 2w + . . . }, a^, R'(»> = (m -H ')('-?.:) . |^(«+., j. 2 p^(»+i) COS w + . . . } .

Posons en outre:

(l — 3y")P'<'" = P;("" + 2P;"»> COS w + 2P;('»> COS 2W + . . . ,

(46) Q'^"» = 2Q;<"" sin w + 2Q;<"" sin 2w + . . . ,

R'(») = Rjc») 4. aR;*-»' cosw + 2Ri<'">cos 2w + . . . ,

et encore:

gp;('">=-2:2:{P"-(«,s,8'),.,-F'»(n,s,s'),,ooy' + ...

f:Qr)=nZ2:{Q"-(n,s,s')o.o - Q""(«.s,8')..o'7' + -Mpr{pr,

gR;('->= (m + i)ri: {R'"(n, 8, s')..o - R"»(n, s, s'),,^' + • • MpTip')'',

420 Traité des Orbites des PlaDètes.

et quant aux coefficients de ces derniers développements, nous arriverons facilement, en considérant les équations (19), (42) et (45), aux formules suivantes:

(48) aF«(n, s, s').y = (s' + i){ /'«(n , s, s' + 0... + /"(n, s, s' + !)„,,},

(49) aQ""(n, s, s')vy = r-(w, s, s').y- 2 r-(n, s, s'— i),^ + . . .

±(s'4-i)r»(w,s,o),y + r-(n,s,s').y i — 2}-(n,s,s'~iX,,i + ...

±(s'+i)}-'"(n,s,oX,,,, .

(51) Q''"(n,s,sV = 7F«(n,s,s'-i).,,-^-^

+ sT-(n, s, oX,.. ± (s' + i)Q""(n, s, o)..,.

Telles sont les expressions servant au calcul immédiat des coefficients dont il s'agit; mais puisque les fonctions r"*(n , s , s'\y y entrant sont en partie communes aux formules (22), (24) et (26), on pourra les éliminer de deux équations correspondantes, et on parviendra ainsi à des relations entre les P"*( ) et les P"*( ). Ces relations s obtenant très facilement, je me restreins à n'en signaler que celle ci:

(52) (s' + i)P'^{n , s , s' + O0.0 = a(s + i)P''^{n , s + i , sOo.o-

Au moyen de cette formule, les P""( ) dérivent d'une manière extrêmement simple des ?*"( ).

92. En employant toujours les notations introduites dans les numéros précédents, nous aurons, en vertu de l'équation (30):

-AU = rcosir

=- — ^(cosw + h),

termes qu'il faut ajouter à l'équation (38) afin d'avoir l'expression complète de la fonction perturbatrice. Or, le second membre se divisant en deux