Première Partie. Livre III

parties dont l'une s'ajoute à tV^ et l'autre, à W^, nous aurons, en désignant par A PT',*^ et A TT*," les incréments à ajouter aux coefficients W^^ et Pry>:

AW^r= APF<,'>

aar

Après avoir établi cette valeur, on parvient aisément aux formules suivantes des termes supplémentaires à ajouter aux expressions (46):

cos w,

sinw,

formules qu'on développera sans peine suivant les puissances de p ,p' , 37' et jy''. On obtient de la sorte les incréments des coefficients P"*(i , s, s')^,., P'»(o , s , s'),,.- , Q"(i , s , s'),.,- et R'"(o", s, s'),,„-. Il suffit de mettre en évidence un seul de ces développements. J'ai choisi celui-ci:

(55) ^;ar- = -1^j, + .^-3/>'

+ />' - àpp' + 6p"

—3py+ i2pp''—iop" + ...},

qui, on le voit immédiatement, est tout à fait analogue avec le développement (33).

422 Traité des Orbites des Planètes.

Signalons encore les relations

AF =^ AR'cosJÏ, r

quon obtient immédiatement en vertu des équations (35")-

93. Reste à dire quelques mots sur le développement de la dérivée D^i2, développement qui s établit facilement si ceux des fonctions W^^^ sont connus, et qui se ramène, au reste, à ceux des fonctions P , Q et R. On parvient au développement demandé en partant de l'équation (37) du n** 70, si Ion y introduit le développement (7) du chapitre présent. Il viendra de la sorte •

formule qui se remplace par la suivante:

(57) ^C' -r}')i\ii =;j.{-(. -^')PD,(^) + (. +^rQ}.

OU bien, par celle-ci:

(58) 3^(' - 7')i).û ='i\- (I - 7')(i^"^ + p*'^t + . • ^^^ip)

+ (I + yo) W + Q<'>h + . . .)

Par ces formules, on obtiendra, d'une manière aussi aisée que possible, le développement de la dérivée dont il s'agit, sous la forme que nous venons