Première Partie. Livre III

X { cos (n — i)(v — v') + C08 (n + i)(v — v') j -\-\{l%-};%)^\nn,o,o) + Y\n,i ,o)p -^Ç\n,o,i)p']

X { sin [n — i)(v — v') — sin [n + i)(v — v')}

Dans cette formule, il faut maintenant introduire les expressions de

î', }'^, 3^, etc., que nous avons données par les équations (20) — (26) du

n** 6 1 ; mais puisqu'il ne s'agit de trouver, finalement, que les termes, ap-

partenant aux synechies Sv et Sv, qui sont multipliés par yj ou par ly', nous cherchons à exclure, dès l'abord, les termes non-coordonnés, en opérant cette substitution simultanément avec les multiplications par les fonctions trigonométriques de v — v'; ce qui nous permettra de choisir, d'abord, les valeurs utiles de l'indice n.

En multipliant les équations mentionnées tout à l'heure par e'"^''"^'^ il viendra immédiatement des résultats dont les différents termes se mettent sous la forme générale

n étant un entier positif ou négatif, et les ^, des fonctions dépendant d'arguments à longues périodes, arguments qui ne peuvent pas déranger les indices des synechies qu'on obtient en effectuant la transformation à la forme diastématique. '

Or, il s'agit d'étabUr la forme mentionnée, ce qui s'effectuera très facilement, lorsqu'on ne demande que les termes multipliés par rj ou -q'. Dans ce cas, il suffit de remplacer les facteurs e*(°^-(°*2)T') ^^ ^•n(T-v') p^^, j^g expressions que nous avons données dans les équations (39, a) — (39, n) du n** 63. Mais en inspectant ces expressions, il se montre que seulement les équations (39, b) et (39, c) renferment des termes appartenant aux synechies dont il s'agit; c'est-à-dire qu'on n'aura des termes de ce genre que si l'on attribue à n les valeurs i et — i. Pour mettre en évidence ces termes, il faut donc, en supprimant les termes inutiles, partir des expressions

476 Traité des Orbite» des Planètes.

^{iv 4 '

^ dv' 4 '

./^g2<(v-T') ï ^.rr/^i(i2 é#)i(X?'ey'Ht(5-5')+t'(v-v')

^ civ 4 '

auxquelles il faut ajouter les formules (22) et (25) du n^ 61, qui sont dès le début mises sous la forme que demande lapplication des équations (39, b) et (39, c).

Considérons encore les quatres fonctions

^^gf(»T-.(« ± 2)y') . jp^'e'^»'-(» ± W) . j2J^e*»<^-^'> ; j^/> V^'-^'^,

^ étant toujours une fonction dépendant d'arguments à longue période.

Par les équations (40, a) — (40, n) et (41, a) — (41,11) du n° 63, il est visible que seulement les expressions />, />6*^'^, />'6**^^~^'^ et p'e^^^'^^'^ donnent naissance à des termes appartenant aux synechies indiquées. Voici les termes de cette forme se produisant par la multiplication des facteurs mis en évidence dans les premiers membres:

Pi = -^P^ y

^j.2^2»(T-V) ^ ip2g-2*(X?'-«')-2t5'^2ty^

pn'e^^"^^ = i^2j'gi(i:/-^)-'(i/-«')+<(d-i'') l jj'g-i(i2-»)-»(i/-<y')-<(d+d')^2<v