Première Partie. Livre III

Ensuite, si Ton forme les dérivées partielles de Texpression de h dont il s agit, il viendra

— = — 0^ sin (v— v')— (Pj sin (v+v')+ 0^ cos(v— v')+ 0^ cos(v+v'),

— = 0^ sin(v— y')— (Pj sin(v+v')— ^^ cos(v— v')+ ^3 cos(v+v'), résultats, en vertu desquels il est facile de voir que la synechie

Sv(/>y^cos(v-v'))

se met immédiatement en évidence, si, dans la formule (34), on change 0^ en 03 , 0^ en 0,, 0^ en — 0^, et 0^ en — 0^, Egalement, on ob-

tient la synechie ^Ap^p^' — ^i^iy — v')j, en faisant dans l'équation (35)

les changements indiqués. Pour obtenir les synechies appartenant aux fonctions où la dérivée de h par rapport à V entre comme facteur au lieu de celle par rapport à v, il suffit de remplacer, dans les équations

(34) '*t (35)j ^0 P^ — ^2» ^1 P^ ^8» ^3 V^ ^o> ^* finalement 0^ par —0^. Ayant ramené, de la manière exposée, les synechies qui appartiennent

aux produits renfermant un des facteurs h , — ou --7 , aux synechies ne

dépendant d'aucune fonction anastématique, il sera facile de mettre en évidence les termes coordonnés du deuxième degré par rapport aux fonctions anastématiques.

Considérons un exemple spécial, en supposant:

et ne cherchons que les termes ayant pour coefficient le produit r)7j'^ multiplié par une des fonctions (Po > • • > ^s-

L'équation (12,1,2,3) du n*' 59 nous fournit les valeurs

486 Traité des Orbites des Planètes.

avec lesquelles, faisant usage de Téquation (34), on déduit ensuite,

Sv {pp' ^ h cos 2 (v — v'))

= l^?V'<^oCOs(2v-5V + ffi-3ffi' + ;r-r+2(;r'-r')) + ^?V'^iCOs(2v-5V-S-3fi>'-(;r-r) + 2(;r'-r')) + ï^^?"<^2sm(2v-5V + ffi-3a>' + ;r-r+2(;r'-r'))

ou bien, en considérant les valeurs des fonctions ^^ , . . , 0^ données par les équations (60), (60'), (60") et (60'") du n^ 93,

Sp (/)/>' ^ h cos 2(v — v')) = 6^'

-677W+/")co8(2v-5V+ffi-3fi)'+;r-r+2(;r'-r'))

+ ^377"//' cos(2v— sV + ffi— 3fi>'-(^-îi') + r-r+ 2(;r'-r')-(i^— 0)

+ ~37:9'*J"cos(2v-5V-fi)-3â)' + 25'-(;r-r)+2(s'-r') + 2(i2'-0'))

^373y"/7'co*8(2v-5V-S-3«5' + ^+S'— (;r-r) + 2(;r'-r') + Û-0

Venons maintenant aux cas qui en particulier nous intéressent, savoir aux synechies des indices i,o et — i,o, synechies qu'on peut traiter ensemble en formant immédiatement leur somme. Mais il nous faut aussi les sjmechies des indices o,i et o, — i, dont les différents termes coordonnés s'obtiennent simultanément, et dont seulement la somme nous sera utile. Quant aux premières synechies, il suffit d'en donner un spécimen du calcul, vu que nous les avons déjà mises en évidence par les