Première Partie. liivre III

(4.0 *,= ij|ri„av-l(j>(|)')cos2v+ij-4sioaV

-i(.--(âr)*)-"'- + î('''-^^)'°^('+'''-i(é+«'l)-('+'').

(4.-) *,= î(»' + âl)-('-'')-K»5^-''!r,)'=''^(''-''). .

(4.™) *.--îl|cp..v l(,'-(|)')ri„.v

En substituant ces valeurs dans les quadrinômes K , K', L et L', on exprimera comme fonctions des quantités /?,/?',} et j', les synechies données par l'équation (40); en d autres mots, on mettra ces synechies sous une forme analogue à celle que nous avons employée dans les équations (27), (28), (27') et (28').^ Cette forme, bien qu'elle renferme les fonctions j et j' ainsi que leurs dérivées, sera toujours appelée forme fondamentale généralisée.

Mais les synechies que nous venons de considérer renferment les termes sousélémentaires du type (-B), c'est à dire, les termes devant entrer dans les équations différentielles destinées à déterminer les fonctions />,/>', j et j', bien attendu, les parties.de ces fonctions que nous avons désignées par

ip) , (/>') . (î) et (8')-

On exprimera de la sorte, moyennant les inconnues mêmes et leurs

premières dérivées, les termes faisant parties des équations nommées.

108. Outre les termes nouvellement considérés, il y en a qui sont coordonnés avec eux. D'abord les termes du cinquième degré qu'il ne faut pas, généralement, négliger, mais desquels on pourra tenir compte dans

' J'emploie toujours les notations abrégées /?,/>, j et j' au lieu de (/>), (yo), (j) et (j).

496 Traité des Orbites des Planètes.

une seconde approximation; puis des termes d'un degré impair et plus élevé. Il y a ensuite des termes sousélémentaires du second ordre, dans certains cas acquérant des valeurs assez considérables.

Quant à ces derniers, on les déduira, après avoir établi, sous la forme appelée diastématique, les inégalités diastéraatiques du premier ordre, ainsi que les inégalités anastématiques du même ordre, ce qui, dans la plupart des cas, s'effectuera, en procédant d'une manière analogue à celle que nous avons employée dans le n*' 102. Or, en multipliant deux séries de la forme diastématique, ce qui est demandé par l'équation (^) du n^ 94, il se produira, entre autres, des termes appartenant aux synechies que nous venons de considérer, termes qu'il faut détacher des autres et réunir, du moins tant qu'ils sont du troisième degré, avec les termes du même genre qui sont donnés par les équations (27), (28), etc.

De pareils termes se produisent encore par des opérations destinées à déterminer les inégalités du premier ordre. Supposons, par exemple, qu'il s'agisse de la fonction W donnée par l'équation

^ = a sin (Av + J + d\

a étant une constante du premier ordre et ^, un agrégat périodique renfermant entre autres le terme

<? = ^sin((i —X)v + B),

le seul duquel nous nous occuperons maintenant. On y a désigné par june constante du premier ordre.

Cela étant, nous supposons que W soit exprimé par la formule

W= —jCos{Xv + b + e) + ip.

Alors, pour déterminer la fonction ^, nous aurons facilement l'équation

«=-|.in{;» + » + *)!?.

Il s'ensuit, si l'on considère la valeur de ^,

^' = r<L^sin av + b + 0) cos((i - X)v + B),