Première Partie. Livre III

Ensuite, si nous introduisons les valeurs ayant ces types dans les équations (37) — (39) et (37') — (39')j il résultera des expressions de la forme générale

(40) ïv{X) = Lp + hy + K^£ + K'^,

où X est mis à la place des fonctions P , Q et E; 5 et 5' signifient les indices 1,0 ou 0,1, et L , L', K , K', des quadrinômes, dont les différents termes sont des produits d*une des fonctions ^^ , . . , 0^ par un cosinus ou un sinus de lai^ument ev + s'y', ce produit multiplié encore par un coefficient constant.

Dans certaines occasions, surtout quand il s'agit de réduire la fonction perturbatrice à la forme fondamentale généralisée, il sera utile d avoir exprimé les ^jj , . . , (P3 moyennant les fonctions J » jS ^ ©t -p.

Pour y parvenir, je rappelle les relations

j = /sin(v — d — (i2 — 0)) = Ism{v — »,), |=/cos(t;-#J + (0,

la fonction (C) n'étant pas tout à fait identique avec celle que nous avons désignée par le même symbole dans le n® 23; mais la différence entre ces deux fonctions est toujours une très petite quantité, d'ailleurs facile à mettre en évidence.

Des équations signalées, on tire facilement les suivantes

j sin V -f ^ cos V = /cos {^i — G) + (C) cos v,

— jcosv + ^sinv = /sin(#j — (?) + (0 sinv;

et on obtiendra également:

j' sin V + ^ cos v' = /' cos {»[ — G') + (C) cos v',

— j' cos v' + ^ sin v' = /' sin {»[ — G') + (O sin v'.

4J^4 Traité des Orbites des Plauètes.

Par un calcul assez simple, on déduit de ces relations en négligeant tout terme multiplié par Tun ou l'autre des fonctions (C) et (C')> les formules que voici:

Il' cps (*. - #; - (G - G')) = (jj' + ||i) cos (v - V') ir sin {»,- »\- (G- G')) = (jj'4.;||;|.^sm(v-v')

n'co8(«, + #:-G-G') = -(aâ'-|^)co»(v + v')

+ (*l+3'|)sin(v + v'), ir sin (#. + #;-(?- G') = - (SJ' - 1^) sin (v + V')

i'cos2(,î».-G) = 2a^sin2v-(j'- (^)')c0S2V,

i- cos 2(#; - (?') = 2a'|.sin 2V'- (a-- (^)') cos 2V',

r'sin 2(#;-G')= -2j'^cos2v'- A"- (^^y^sin 2V', formules qui entraînent ensuite les suivantes

+K«'+Sï)"'>'('-'')+('^-''S)™('-'').