LIVRE QUATRIÈME

Les équations différentielles des mouvements des planètes.

Pour rétude des mouvements des planètes, les équations en coordonnées rectangulaires qu'offre la dynamique ne sont pas les plus convenables. Elles jouissent, il est vrai, d'une symétrie parfaite, mais elles donnent, en revanche, les quantités demandées au moyen de formules où rien n'est fait pour aplanir les complications. En effet, les coordonnées rectangulaires s'obtenant, toutes les trois, par des opérations semblables, il n'y aura pas lieu de séparer les difficultés, de les distribuer sur différentes équations, et de les rendre, de la sorte, moins sensibles. Aussi n'a-t-on guère, que je sache, fondé l'analyse des inégalités planétaires ' sur l'emploi direct des équations dont nous venons de parler, mais bien sur d'autres qui en dérivent plus ou moins facilement. * Il y en a plusieurs systèmes, desquels je mentionnerai les deux qu'on obtient:

I** en remplaçant les coordonnées rectangulaires par le rayon vecteur, la longitude comptée sur un plan fixe, et à partir d'une direction fixe dans ce plan, et finalement la latitude sur ce plan;

2** en employant la méthode de la variation des éléments képleriens.

En introduisant les coordonnées polaires, on obtient au lieu des équations déjà mentionnées, teois équations nouvelles se prêtant avantageusement comme base à l'étude des inégalités. Les préparations pour y arriver sont, en quelques mots, les suivantes.

Les trois équations en coordonnées polaires, n'étant pas symétriques se mettent facilement sous diverses formes, soit en changeant les fonctions

* Il faut toutefois consulter le passage dans les numéros 631 — 634 du >Die Differential- und Integralrechnung» par I. L. Raabe sur le problème dont il s'agit. La méthode de l'auteur, ainsi que celle d'ENCKE ne se prêtent, cependant, pas à des solutions véritables.

Les théories de la lune dues à Euler et à d'OppoLZER sont fondées sur l'emploi des axes rectangidaires, il est vrai; mais ces axes sont mobiles dans l'espace.

502 Traité des Orbites des Planètes.

cherchées, soit, la variable indépendante. Parmi elles, il me faut mentionner la forme employée par Laplace dans sa théorie de la lune, ainsi que celle que Hansen a mise en tête de ses travaux. Ces deux formes ne diffèrent pas, au fond, essentiellement Tune de l'autre; et le système adéquations que nous allons mettre en usage dans la suite est d'une forme analogue, sauf toutefois les altérations qui sont dues à Temploi de fonctions élémentaires au lieu d'éléments constants.

Le nouveau système d'équations que nous allons faire connaître prochainement, est susceptible d'être décomposé en systèmes partiels dont les solutions absolues peuvent être obtenues, du moins. dans le cas des planètes principales. Cette décomposition est le moyen le plus efficace de trancher les difficultés inhérentes aux problèmes dont nous nous occupons. On a bien aussi, dès que ce problème fut posé, considéré le moyen signalé; mais on a, à peu d'exceptions près, opéré la décomposition envisagée en développant, suivant les masses des planètes, les quantités dont il s'agissait de trouver ,les expressions en fonctions du temps. On a même quelquefois égalé à zéro la somme de tous les termes du même ordre, de façon à avoir chaque système partiel indépendant de ces masses. De la sorte, la solution du problème s'obtenait par des approximations successives; mais, par malheur, ni les solutions des systèmes partiels, au moyen de séries trigonométriques, n'étaient généralement convergentes, à l'exception de celle du premier système, ni la suite des approximations successives non plus. Il faut donc qu'on établisse les systèmes partiels suivant un autre principe: c'est ce que nous allons faire dans la suite.

La méthode de variation des constantes arbitraires conduit a un système d'équations dont la rigueur ne peut pas être contesté, il est vrai; mais dont intégration se montre très difficile, si l'on *en veut tirer des solutions absolues, c'est à dire, des solutions sans développements suivant les puissances du temps, et où les développements trigonométriques sont uniformément convergents. En effet, l'intégration des équations établies de la sorte ne s'opère d'une façon aisée que si l'on y néglige les termes du second ordre ou, au moins, les termes du troisième degré. Dans le premier cas, on ne saurait éviter des développements suivant les puissances de la variable indépendante; dans le second, des séries trigonométriques divergentes apparîdtront tôt au tard. Je reviendrai cependant à cette question.