CHAPITRE I
Tra/nsfomuUions généreUes.
I lo. Par une méthode ingénieuse et bien à la connaissance des astronomes, Lagrangk a transformé le système primitif des équations de la dynamique. Son résultat relativement aux équations en coordonnées polaires consiste en le système que voici:
dt
r' cos h sin b
dt
dû
les notations étant celles que nous avons employées dans le troisième livre. Ce n'est cependant pas en conservant la forme signalée que nous allons utiliser les équations en coordonnées polaires, vu que l'emploi de la longitude dans Torbite offre quelque supériorité à celui de la longitude comptée sur le plan fixe. En rappelant les équations (14) et (19) du n** 19, on obtiendra:
008 i* + sin i* cos {w — aj* /dw\ *
cos b*
\dt)
COS 6' = cosi' + sini^ cos{w — ay.
En vertu de ces relations, on déduit immédiatement de la première des équations (i) la suivante:
dy
dt
t* \dt) ' r»~3r '
où l'on peut introduire la valeur
^ = — 4- ;v dt dt ^
504 * Traité des Orbites des Plaoètes.
L*équation (I) est notre première équation fondamentale; la seconde ne découle pas aisément des équations (i), mais on la déduit sans peine de la manière suivante.
En multipliant les équations (27) du n** 20 respectivement par /',,/', et /*, et en formant ensuite la somme de ces produits, il viendra:
Après avoir différentié cette équation, on en tire, en remplaçant les secondes dérivées par les composantes des forces
"^L \^"*" / / 3i2 3Û\ , / 3i2 ^J2v , / dû dS\
ût - = r.[^^-y^)'^n[^^-^Yz)+r[y^-%)
+ dt Vdt ^dt) + dt Vdt ^dt)^ dt Vdt ^dt)'
Mais cette expression se simplifie beaucoup, si Ion y introduit la valeur de la premier ligne du second membre d après la première des équations (5') du n*^ 65, ainsi que les valeurs des binômes x^j- — ï/jr y ^*^->
données par les équations (27) du n"^ 20. On aura alors, en considérant la relation
ainsi que la seconde des équations (11) du n** 66, la seconde des équations fondamentales. Elle est:
^Vdt) d(r^N) dû ^^^^ dt "^ dt dv'
Notre troisième équation fondamentale s'obtient tout de suite en introduisant, dans la troisième des équations (i) du n** 64, lexpression
z = rj.
Il viendra ainsi:
dt' ^ dt dt ^ \dL' "^ rV^ a« '
