Première Partie. Livre IV

La voici: *

2 {cY \dv, ) (c)' dt,J I (r)' dv, (.) \d„, {c) dv, ^Pl) J 1 + .<

2(1 + .9) (^1+ ^J 8 2 ^^^ L^^.^ ^^^ 2 ^ ^ ^ J ^^^ " (I + 5)'P + (P) + { [e, (^)] - [(/>) , fj}/^ .

Certes, le second membre de cette équation renferme encore des termes à longue période, mais ces termes-là sont beacoup plus petits que ceux qui font partie de S, et ils ne deviendront pas agrandis par l'intégration.

Du reste, on pourra facilement transférer ces termes à is afin d'obtenir cet agrégat périodique si complet qu'on voudra.

Une remarque d'un certain intérêt se rattache à l'équation (VIII). En la comparant avec l'équation (47) du n® 14, on s'aperçoit immédiatement de son analogie avec cette dernière. On sera donc à même de conclure que, si la fonction [p) se montre toujours inférieure à l'unité, la courbe définie par la relation entre (r) et (/>) est une courbe périplégmatique. En effet, les termes de l'équation (VIII) qui sont représentés, dans l'équation (47) du n° 14, par X, restant très petits tant que (/>) est une quantité peu considérable, les conditions nécessaires, expliquées dans le numéro mentionné, sont remplies.

115. Lorsqu'il s'agit de l'intégration de l'équation (Vil), il se présente deux routes différentes à suivre. Ces deux alternatives se distinguent par le choix de la variable indépendante, savoir ou le temps réduit C ou l'angle v.

Traité dôê orbite» absolues. Ç6

522 Traité des Orbites des Planètes.

Certes, il y a plusieurs avantages qu entraîne i'emploi de la variable (T, mais ces avantages ne deviendraient actuels que si Ion avait développé la fonction perturbatrice suivant les multiples de Gr et de Gr'; et outre cela, il y aurait alors des motifs pour changer, dans Téquation (VIII), la variable v^ en C} ce qui aurait rendu plus compliqués, non seulement le procédé d'intégration, mais encore le résultat: on se serait trouvé, en effet, dans une position analogue à celle, dans la théorie képlerienne, où Ion aurait voulu éviter l'emploi de l'anomalie vraie pour exprimer immédiatement le rayon vecteur comme fonction du temps. On doit donc penser que le choix de l'argument v^ conmie variable indépendante Temporte sur celui du temps réduit.

D'autre part, l'abandon de la variable dernièrement nommée entraînera, on ne doit pas le nier, une certaine complication quant à l'équation (VII), complication qui sera sensible, surtout quand il s'agit de déterminer la différence T — T ou bien, la fonction U, définie par la troisième des équations (3) du n° 40. Mais les difficultés en naissant seront d'une nature moins grave que celles ayant leur origine dans Tintroduction du temps réduit comme variable indépendante. Je me réserve cependant, pour certaines occasions, d'employer cette variable.

Après avoir déterminé la fonction S en vertu de l'équation (23), ou bien, d'une manière que nous allons connaître prochainement, on parviendra à déduire les fonctions (p) et f, après quoi la fonction T s'obtiendra en intégrant l'équation (23), qui s'écrit de la manière suivante

dT {ry

Cependant, bien qu'on puisse, le plus souvent, déduire, de la manière indiquée, un résultat assez approché de la vraie valeur de la fonction cherchée; une solution absolue ne s'en obtient pas, c'est à dire une solution en forme trigonométrique dont la convergence uniforme puisse être lïiise en évidence. Pour y parvenir^ on doit recourir à l'équation (VII)

dv qui devient, après y avoir remplacé le terme — T70 par la valeur tirée de

l'équation (VI),