Première Partie. Livre IV

\{rydvj

dv^

OU bien, en introduisant au lieu de (i + ^' la valeur découlant de Téquation (23), celle-ci:

dvl

^dT VW (r)» dv.

hmyh'^y

yM «^"o

dv«

3 JL lii) — 2 d(p) 2(c)dv^ 1 +(/>)dt;, dr J{c)dT dv.

{rydv.

Dans cette équation, la fonction S se trouve éliminée, mais il y reste encore la fonction f inconnue. Or, puisqu'on a établi la relation (24), on pourra mettre, à la place de f , une fonction qui, du moins quant à sa partie lentement variable, est connue. J'opère l'introduction de la fonction 28 au lieu de f de la manière suivante.

Soit T une fonction qui dépend de S moyennant l'équation

dv, (I+2S)"

il s'entend que T, en ne considérant que les termes à longue période, n'est pas beaucoup différent de T.

De l'équation (27), il découle réciproquement le développement

I dr , 8 /dfV 68 /df\* "243

3 dv, "^ 27 \dvj 243 [dvJ "^

qu'il convient de signaler.

Admettons encore la relation

dv„ I +5-^

(• + ~sr ^

-.0, + 2SQ, + 4i^*Q, + ... + «,

524 Traité des Orbites des Planètes.

les premiers termes du second membre étant la partie de l'expression de

— — ^ qu'il convient de considérer ici. Le dernier terme S est ajouté à

l'équation établie pour y transférer non seulement tous les termes à longue période nécessaires pour détruire les termes de ce genre se produisant d'abord en f , mais encore, pour introduire, dans cette équation, un certain nombre d'autres termes qu'il convient de considérer simultanément avec les termes dont la détermination est notre but principal.

On a introduit, dans le premier terme du second membre, le dénominateur (i + 2S)*, vu que la fonction Q donnée par l'équation (2) du n® 85 est affectée du facteur

Cela étant, si nous différentions l'équation (27), il viendra: d^ ds

dT ^i+isr\ 3i+2sJ'

dv^

équation qui en vertu de la formule (29), et en considérant le développe-

di'v

ment de S suivant les puissances de ^ , prend la forme

-Kiyi.+-i4+...-3(.-H2>-

Cette équation n'étant pas entièrement indépendante des fonctions T ei Xj vu que ces fonctions apparaissent dans les arguments, on pourra cependant l'intégrer en négligeant, dans une première approximation, ^ ainsi que la différence T — T. On aura ainsi une valeur approchée de T qui s'exprimera, nous le verrons, moyennant une série trigonométrique uniformément convergente. Après avoir obtenu ce résultat, on formera, en