Première Partie. Livre IV

'^\i:u{Ri') +'£{Bi')

= ^(RXo,i,i).,„ + 2ei--'R'(o,i,o)o.o|77'/'[sin([J' + F-F')+sm(U'-P-F')]

+ i R^Ci ,0,2). J:?'^ sin (- U' + 2F' + V - v')

E\i,o,o\,r}* + R«(i,o,o)o,V* + ;(fr''' + f;--')R'( 1,0, 1)0.0:7"

+ -RO(i, 2,0)0,07' + zR''(«.o,2)..,:y

7'sm(U' + V — v')

+ i R''(i,2,o)o,o7'i' sin (U' 2F + V- V')

+ i[e;'-'R'(2, 1,0)0.0 + ^R'(2,i,i),.o]iy7'r sin (U'-F + F+2(v-v')),

'Aj Zv(R cos ^. }) + I^v(R cos fi", a) j = I - (r'(i ,o,o),o - iR*(i ,2,0)0.0)7' + (R'(i ,0,0)0., + l R'(i ,o,2)o.,):y"|, + ^R<'(i,2,o)o,o7'/sin(U-2F)

+ j-2el'-V(l. 1,0)0.0 + ^/(l,t,l)„.o|7:y'/ sin (U-F + F'+v-v') ie!'-V"(l, 1,0)0,0 + ;*7'(i,i,Oo,o 7V^sin(- U + F + F' + v- v')

^ÇÎ'~V(l,I,o)o.o + ^/(l,l,l)«,o

77'/ sin (— U — F 4- F' 4- V — v')

-|fry (2 ,0,0)0.0 + -^;--'/(2.o,i)o.o

+ ^<7'(2,o,2)o,o ^'Vsin(— U + 2F' + 2(V — V')).

Dans ces formules, on a employé la notation du n° 32, savoir:

Traité deê orlnUt absolueê.

5S0 Traité des Orbites des Planètes.

Cherchons finalement les termes du troisième degré par rapport aux fonctions anastématiques. Dans ce but, établissons les expressions

LKj'h) + "iVb) = '- l'<K sin (U' + V - V') + ^ J'0, sin (U' - v - v')

— -I'0, COS (U' + V — v') + - r<p3 C08 (U' — V — v').

On a de plus, en omettant les termes inutiles,

h COS w = - 0„ + - <P, COS 2v + - (P^ sin 2v,

h COS 2yf = - (p^ COS (v — v') 0^ sin (v — v'),

d'où l'on tire facilement les expressions

Sy(jh COS w) + Sp(}h cos w) = - 0^3 + - 0j7sin (U — 2v)

+ - 03/cos(U 2V),

Zy(j'h cos 2w) + Zv(j'h cos 2w) = - 0^r sin (U' + v — v')

+ - 0,7' cos (U' + V — v'),

Sp(j'h cos w) + Sv(}'h cos w) = ^^(jh cos 2w) + Sv (}h cos 2w) = o.

Par les formules que nous venons d'obtenir précédemment, il est visible que les termes du type (B), qui sont du premier ordre, faisant partie du second membre de l'équation (XI), renferment comme facteurs, soit (}), soit (}'), soit encore les dérivées de ces fonctions par rapport à v, respectivement à v'. On en conclut un résultat de la forme suivante:

Zv (R(a' - î cos //)) + Zp (R(a' - a cos H)) = [-r+(^0 + (/)](3)+[(//).+(A3^f^ + [r<^os(v-v') +(//')+ (/')](a')

+ [r sin (v - V') + (^ +(/'),] ^,