Première Partie. Livre IV

les développements (a) et (/9) se changent en ceux-ci:

(r) ^. R = E'Co.o,©),.. - R0(o,o,o),.oi7» + R«'(o,o,oV,:y" + R»(o,i, 0)0,0 (^) + R'(o,o,i)o,o(/>') + R'(o,2,o)o.o(/>)' + R»(o,i,i,)o.o(^)(<o') + R»(o,o,2)o.o(^')' R"'(i,o,o)o.o - R''(i,o,o),.oi?' + R»(t,o,o)o.i7" + 2 + R«(i,i,o)o.o(/>) + R'(i,o,Oo..{/>') cosw

+ 2{R'(o,0,o)o,o + 2 R'( 1,0,0)0,0 COSW + 2R'(2,0,o)o,oCOS2W + . . .jh

{ô) ^R cos7ï= R»(i,o,o,)o,o - R'(i,o,o)i,o7' + R'C 1,0,0)0., 7" + R''(i,i,o)o,o(<o) + R'*(i,o,i)o.o(/)')

^*(i, 0,0)0,0 — </*(i, 0,0)1,0:7' + ^*(i,o,o)o,tiy"

+ 2{ +^'(l,I,o)o.«(/)) +^"(l,0,0».o(/'') COSW

+ {<7'(o.0>0)o,o + 2<7'(l ,0,0),,0 COS W + 2^\2,0,o)o,o C08 2W + .. . j h

En multipliant les expressions (;*) et (â), la première par j', et la seconde par j, nous aurons, sans compter le facteur (i -\- S)*, les deux produits qui forment les termes du second membre de l'équation (XI). Il s'agit d'en séparer les termes élémentaires du tjrpe (E).

528 Traité des Orbites des Planètes.

Si l'on ne met en évidence, dans les produits nommés, que les termes jusqu'au troisième degré inclusivement, on en pourra distinguer trois groupes: le premier contient les termes du premier degré; le second, les termes du second degré par rapport aux fonctions diastématiques et du premier degré par rapport aux fonctions anastématiques; les termes du troisième groupe finalement sont indépendants des fonctions diastématiques et, en conséquence, du troisième degré par rapport aux fonctions anastématiques.

Quant aux termes du premier degré, on consultera d'abord les formules du groupe G du n° 6i, d'où Ton tire:

i:y(a' cos w) = ^ r sin (v — 5' — i2' + 0')

= ^ 7' sin(v' — ^' — i2' + 0' + V — v'),

formule qui s'écrit, en négligeant la fonction (C), de la manière suivante:

Lv (a' cos w) = - }' cos (v — v') + - ^, sin (v — v^.

On voit maintenant que les termes du premier degré qu'il faut placer au second membre de l'équation (XI) sont ceux-ci:

(e) ^|— R'(i,o,o)o,o3 + R^(i,o,o)o.oj' cos(v - v')

+ R«(i,o,o)o,o^sin(v-vO

Les termes du second degré par rapport aux fonctions diastématiques se produisent seulement des parties de R et de Rcosw qui sont indépendantes de h. En inspectant les formules des groupes G du n° 6i et J du n° 62, on parvient aux expressions suivantes où ne sont considérés que les termes du second degré relativement aux fonctions diastématiques, et du premier, quant aux fonctions anastématiques: