CHAPITRE II

Début des approximations successives.

117. Figurons-nous que le point de départ de nos études sur les mouvements des planètes soit tel qu'il x\y ait rien de connu, excepté les masses du soleil et des planètes, ainsi que les positions de ces astres à une époque déterminée, avec leurs vitesses relatives: on demande comment entamer les approximations successives?

Nous supposons, conformément aux idées qui nous guident dans le présent travail, non seulement que les masses des planètes soient de petites quantités relativement à celle du soleil, mais encore que les valeurs des

quantités " T" ? ~ > " ^7 soient, à Tépoque dont il s agit, peu sensibles. La

supposition mentionnée sexprime dailleurs de la manière suivante.

Les positions et les vitesses des diverses planètes étant connues à une époque donnée, les éléments képleriens osculateurs le sont aussi, vu qu'il est seulement une simple question du calcul numérique de transformer les coordonnées avec leurs variations en éléments elliptiques. Notre supposition revient donc à admettre peu considérables les valeurs osculatrices des excentricités et des inclinaisons mutuelles des orbites des diverses planètes.

Mais même avec cette restriction, il sera assez difficile de trouver Feutrée aux approximations successives par lesquelles s opère Tintégration des équations fondamentales, cest-à-dire, des équations (I) — (XIII) du chapitre précédent. En effet, si on les examine, on voit immédiatement qu'aucune d'elles ne constitue une équation isolée et indépendante des autres. Par là, on serait généralement obligé de recourir à des équations, ou bien à des systèmes d'équations d'un ordre plus élevé que le second, s'il ne se présentait pas un moyen plus convenable, quand même il serait artificiel, d'attaquer notre problème, en apparence peu accessible.

Qu'on ne pense pas, en s'efforçant de trouver un tel moyen, à la substitution, au lieu des coordonnées vraies des différents corps, de leurs

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expressions elliptiques, les éléments ayant des valeurs osculatrices. De la sorte, on ne saurait éviter des développements suivant les puissances du temps, lesquels, bien qu'ils puissent être convergents pendant un intervalle limité du temps, ne le sont certainement plus, lorsque la valeur du temps aura excédé un intervalle déterminé. Mais de tels développements ne constituent jamais des solutions absolues. Ce serait de même, si l'on admettait les éléments elliptiques affectés des inégalités séculaires procédant suivant les puissances du temps.

D'autre part, en exprimant les coordonnées moyennant les expressions élémentaires, les constantes y entrant seront, au commencement du calcul, inconnues, vu que les différences entre les éléments absolus et les éléments képleriens sont, généralement, trop grandes pour être négligées, même à la première approximation. Seulement les protomètres peuvent être considérés comme approximativement déterminés, parce que l'écart entre cet élément des diverses planètes et le demi grand axe de l'ellipse képlerienne est certainement une quantité minime, tout au plus de Tordre des ms^sses troublantes.

Avec les valeurs des protomètres ainsi obtenues, on pourra cependant calculer les transcendantes d'où dépendent les coefficients du développement de la fonction perturbatrice, et, établir ces coefficients, les fonctions (/?), (/>') , îy, etc. y entrant étant encore indéterminées. On pourra, en d'autres mots, mettre en évidence, numériquement, les équations fondamentales, mais leur intégration ne paraît pas encore avancée d'un seul pas. Dans cet embarras, nous allons mettre à profit une propriété spéciale des termes du type (B).

En introduisant, dans l'équation (VI), les termes du type (J5) d'après la formule (24) du n^ 103, et en écrivant v^^ au lieu de v^, on aura un résultat de la forme

(l-^^3 = s, sin(v-5)'-;r' + /") + . . .\ '

Sj étant le coefficient A (0,1, 0,0, 1)0,0^7' + • • • , et ainsi de suite.

* On aperçoit aisément que tous les termes, dont la somme forme le coefficient de sinF, disparaissent, vu qu'ils sont multipliés par le facteur n.