Première Partie. Livre IV

Désignons encore par H , H\ W\ ... les parties constantes des fonctions Tj^ , Tj''^ , r/''^ y . . . , et posons:

(70 p;, = 'yî, + 'A //' + 'A // + ',^;' //" + ... + [1%,

etc.,

en sorte que [P]o.i , [P]o,i » etc. soient des a^^régats périodiques exprimant les parties variables de Poj » Po.i , • • .

Cela étant, nous allons appliquer, à l'équation (2), la méthode de transformation établie dans le § 5 du mémoire ^nouvelles recherches etc.)). Or, si Ton pose:

(8) /. = (. -jr.,,) E + f./^+)l,\{> -P)rJ ■+ (^)"]

les fo.î,f i,o»/o»;^i et ;f2 étant des fonctions quHl faut déterminer convenablement, et yî, une constante dont la valeur peut être choisie de nianière à rendre certaines parties variables aussi petites que possible, et quon mette:

(9) ^ + (i-^)E = L, on arrivera à l'équation

(10) ^+[,-/9,-y9,//^,i/'^/^"-...]7i;+jr,o^'-f„,L+i»/=Tr,

où Ton a désigné par M un agrégat périodique dont les coefficients sont tout au moins du premier ordre et du troisième degré. Cest de même

quant aux produits f"i,o-r7 et fo.iX.

Evidemment, les H renfermant comme facteur la somme des carrés de tous les coefficients se trouvant dans les expressions de p \, p\ etc., sont des fonctions horistiques, et leur présence donne \\ Téquation signalée son caractère horistique.

Ayant obtenu Téquation (10), nous allons la diviser en deux autres, en supposant

560 Traité des Orbites des Planètes

la fonction X étant fixée au moyen de Véquation

- (r; + n rn[x' ^<^« (^ - v) + j^7 «î^^ (^ - v) |

+ (rr + r-r ^^")[^" oos (v- V") + ;|^5^ sin (v - v") |

Quant aux fonctions X' , X", etc. qui apparaissent dans le second membre, elles sont données moyennant des équations tout analoofues à celles que nous venons d'établir.

En effet, si, en considérant une seconde planète, nous réitérons les transformations indiquées, nous serons obligés à mettre:

(8-) f.' = (. ~ r;,)Fy + <,;iî + x:[{, - ■^)k' + (;|^)'] + ^.;^'r+4(.-w^--(;L?)'];

et ensuite:

ce qui entrîiîne Téquation suivante:

(lo-) ;j^ + [, - '/9, - '/9,7/' - 'y?,// - '/îi'//" - . . V': + <f\/-^

Maintenant, si Ton admet:

(il') 7<:'=:X' + x;,

on pourra établir lequation

= Cr, + •r.Ji)\^ <'<>^ (V - v) + ;;f sin (V - v) I

+ Cri' + v;' in\X" cos/v'- V") + 'J;^; sin (v- - v") J + ....