Soient

X = k cos (v — cS) + kl cos (v — cD,) + . . . ,

(13) I X= /v'cos(v'— 0)')+ k[cos{v' — a)[) + . . . ,

les k étant des coefficients constants, qu'on peut identifier dans la première approximation avec les ar, et les û>, des angles dont les dérivées par rapport aux variables v , v' , . . , soient des quantités du premier ordre. Lorsque, dans les expressions de ces dérivées, il y a des termes périodiques, les coefficients de ces termes seront des quantités du premier ordre et, tout au moins, du premier degré.

Cela étant, nous allons différentier les équations (13), ce qui nous conduira aux expressions de la forme que voici:

= — A; sin (v — 55) — A^ sin (v — ffii) — ... — (/),

dv dX'

= — A'sin (v'— &)— k[ sin (v'— cD;) — . . . — (/'),

où les {l) signifient des fonctions de la même nature que les (A), introduites dans le n"^ 13, et dont les valeurs sont très petites du premier ordre et du premier degré. En les négligeant dabord, nous nous réservons de les réintroduire dans les expressions rigoureuses.

Traité des orbites abaolueê. 71

J62 Traité des Orbites des Planètes.

On parvient maintenant aux formules

X' cos (v — v') + j-r sin (v — v') = ft' cos (v — S') + k[ cos (v — fi»;) + ..., ^'^^ ^ X"cos(v - v") + ^^ sin (v - v") = «"co8(v -tS") + A-î'co8 (v -ai[')+...,

1 xr

X cos(v'— v) + y- sin(v' — v) =k eos(v'— cS) + ^i cos(v' — fi},) + ..., ^^^^ X'cos(v'-v'0+^sin(v'-v'0=/.'''cos(v'-©'0+*;'cos(v'-fi}n +

etc.

En introduisant les valeurs signalées dans les équations (12), (12'), on arrivera sans peine à un système d'équations algébriques d'où sobtiennent, moyennant des approximations successives, et les valeurs des coefficients A; , AJj , . . . , A;' , AJ , . . . , et celles des vitesses des arguments w , û>, , . . . , û>' , û>l , . . . ; je dis expressément: par des approximations successives, parce que les H , H' , . . . sont inconnus et ne peuvent pas être calculés, ni même approximativement, qu après une première détermination des X , X' , . , . . Je reviendrai, du reste, au système mentionné, qu'il paraît inutile de mettre en évidence quant à présent, avec des applications aux planètes principales, dans la troisième partie du travail présent.

Afin de former, finalement, les équations en X^ , XJ , . . . , j'admettrai avant tout les notations suivantes:

en sorte que les [gy^ expriment des agrégats périodiques. Je poserai ensuite, en omettant les termes du cinquième degré,