Première Partie. Livre IV

W, = y,,L -i.,. '^i-M+r'.{r\E' cos(v- V') + ^8in(v- V')]

+ r'A-n"%E" cos (V - V") + ^ sin (V - V")] + ... , lf;=^;,L'-^;..^— M' + V,M[Ecos(v'- v) + ^sin(v'- v)]

+ Vi'h"*][-E"co8(v'- V") + ^8m(v'-v")]

alors, en retranchant l'équation (12) de l'équation (10), l'équation (12') de l'équation (10'), et ainsi de suite, il viendra, en considérant les déootations (i i) , (i i') , . . . , le système que voici:

= (ri + riS')[^i co« (V - v) + ^ sin (v - V')]

+ (rr + ri'^")[x;'cos(v- V") + ^'8in(v-v")] + ...

('6') ^^ + [i-'/9,-'/9.fl'-...]Xi

= Cr. + 'r, ^)[^. cos (v' - v) + ^ sin (V - v)]

+ ('rî' + 'r;'^')r^î'cos(v'— v") + ^ sin(v'— v'O]

+ W[, etc.

564 Traité des Orbites des Planètes.

En comparant les équations (12) et (16), on se convaincra tout de suite que les deux systèmes sont tout semblables, à Texception que les équations (16), (16'), sont affectées de termes supposés tout connus, savoir des termes désignés par TTi , W[ , . . . . Ayant obtenu les intégrales du système des équations (12), on aura aussi celles des équations (16). Les procédés analytiques y conduisant n'impliquent pas de difficulté, mais l'application pourra entraîner des calculs épineux, toutes les fois que les expressions des divers W renferment des termes critiques. Mais dans un tel cas, il faut observer deux choses: d'abord que les W sont des quantités du troisième degré, et ensuite que les dénominateurs introduits par Tintégration renferment comme termes additifs les fonctions boristiques H j H\ . , . chacune multipliée par un facteur de Tordre des forces troublantes. Par là, on est assuré que les termes résultant de l'intégration du système (16) seront des quantités tout au plus du premier degré.

Dans le cas des termes critiques, par exemple dans celui des quatre planètes inférieures, on est obligé de refaire, plusieurs fois, les approximations dès le début, mais on pourra aussi mettre à profit des méthodes de tâtonnement conduisant plus promptement au but. Quant aux détails du calcul, il me faut renvoyer le lecteur à la troisième partie de ce travail.*

127. Supposons qu'on ait déterminé les termes élémentaires faisant partie des expressions des divers /O et j, dont les derniers s'obtiennent d'une manière tout analogue à celle que nous venons d'exposer dans le numéro précédent; on sera alors à même de calculer les inégalités diastématiques et anastématiques. Je ne m'arrête cependant pas à ce point quant à présent, parce que le calcul des dites inégalités n'entraîne pas de difficultés sérieuses, pourvu qu'on ait eu soin de mettre en évidence les termes principaux dépendant des fonctions horistiques. Mais ce qu'il ne faut pas pourtant passer sous silence, c'est l'exposition de la manière de calculer les termes critiques et les termes élémentaire:? entrant dans l'expression de la réduction du temps. Voilà aussi le point le plus délicat de l'analyse des inégalités planétaires.

^ Dans la thèse »Sur les termes élémentaires dans l'expression du rayon vecteur», M. Max Wolf a donné ime première application de la méthode que je viens d'esquisser dans le texte.

première Paytiç^ Livre IV,. 566

En inspectant les formes des divers arguments et notamment, Texr pression (i") du n° 95, et en se rappelant que les fonctions V et, V,' y^ entrant sont toujours accompagnées de U, respectivement de U', fonctions dont les expressions sont données par les formules (3) du n® 40, il est aisé de voir que tout argument peut être mis sous la forme

Arg. = 2Av + 2J5 — 6'U,

X et B ét^nt des constantes quelconques et s\ à très peu, près un nombre entier. On y a toutefois supposé que le coefficient,

soit mis sous la forme d*un agrégat périodique aux termes constants. . Maintenant, si dans Texpression

on supprime les termes dépendant de X y X' et jP, ce qui n altère pas lexposition de notre méthode d'intégration, l'argument dont il s'agit sera donné moyennant la formule

Arg. = 2Av + 2B + sT,

où s signifie le produit — 5'(i — ç^)/in. Dans le cas d'un terme élémentaire, le nombre s sera toutefois une quantité de l'ordre des masses troublantes, ce qu'on voit facilement en consultant, par exemple, les formules (14) et (14') du n*' 4T.

Cela étant, nous reprenons l'équation fond^ipentale {X), ou bien une autre donnant la valeur de la seconde dérivée de la fonction T, T étant mis au lieu de la lettre barrée T. En introduisant ensuite à la place de 3Qj^ le développement

— A, sin.(2A,v + 2B,.+ 5,r) — A, sin.(2A,v.+i2J5, + sj") — . . . ,

dT et en omettant les termes dépendant de ^, ce qui est permis parce que

ces termes ne sont pas essentiels, lorsqu'il s'agit d'élucider le principe de la

566 Traité des Orbites des Planètes.

méthode d'intégration, et en écrivant finalement G^ au lieu de 2A„v4- 2B„, il viendra:

('7) .7^'= - A si^C^^o + \T) - A, 8m((?. + sj) -....

11 importe de voir qu'on peut toujours supposer les coefficients A^ positifs. En effet, s'il y en a des valeurs négatives, il ne faut qu'ajouter

- à l'angle constant B^ après quoi on prendra la valeur positive.

Considérons en particulier l'équation

(.8) ^=-^8in(G + sT)-X,

X étant un agrégat périodique dont nous supposons les divers termes tout connus.

L'intégration de l'équation proposée est en effet un problème assez compliqué; pour le simplifier un peu, je mets d'abord

et je détermine la fonction Z en établissant l'équation

(19) 0=-^8in(G + sZ).

H restera, pour évaluer la fonction F, l'équation suivante:

(20) ^=—sA cos {G + sZ)V+ s A sin {G + sZ) F'

+ ^ sA cos{G + sZ)V' — . . . . —'-X.

L'intégrale de l'équation (19) s'obtient sur-le-champ. En effet, cette équation sera satisfaite, si l'on admet:

(21) G + sZ = 2 am?^(Av + B),