Première Partie. Livre I

ou bien:

En mettant, dans cette formule s égal à Funité, on en tire lexpression finie:

les autres B seront exprimés au moyen des développements que voici:

Cela fait, il sera facile de retrouver le développement (7). Si, dans

ce but, on différentie .Téquation (12'), et qu'on introduise, dans le résultat

dE ainsi obtenu, la valeur de -r^ et celle de (i — lycosE), rj étant toujours

considéré comme constant, on aura sur le champ l'équation (7), qui se trouve ainsi vérifiée. Mais pour vérifier les coefficients numériques apparais-

88 Traité des Orbites des Planètes.

sant dans les expressions données plus haut, on pourra mettre, dans 1 équation (7), F égal à zéro, ce qui conduit à Texpression

égalité, d*où Ton conclut facilement Fexactitude de nos chiffres.

En introduisant, dans les divers termes de lexpression (6), le développement obtenu de ( i + î? cos F)"^, on aura tout de suite des expressions dont Tintégration demandée ne causera plus de difficulté.

Mais on pourra aussi trouver une autre expression de la fonction X, plus facile à mettre en nombres que la formule (6). Dans ce but, comparons les trois formules (9), (10) et (12), et nous arriverons tout d abord au résultat

(13) (I - ç)X =fl){B, sinF + B, sin 2F + . . .},

d'où il est immédiatement visible que la fonction X est toujours une très petite quantité du premier ordre par rapport aux forces troublantes et du premier degré par rapport aux coefficients diastématiques.

28. Pour une raison qui sera reconnue dans le numéro prochain, nous allons développer les puissances entières et positives de lagrégat périodique Gt — F .

Dans ce but, admettons la notation

a = e^^ d'oîi il s'ensuit:

sinF=l(a — a-^, sin 2F = l(a' — a"^) , . . . .

L'expression qu'il s'agit de développer, prend maintenant, n étant un entier, la forme:

(14) (G — F)" = (B, sinF + B, sin 2F + . . .)•

-^[B,a + JB,*" + . . .]"-[5:«-^ + B,a-' + . . .]

Commençons par établir le développement

[B,a + B,a' +...]" = -^ra" + Ai;|,a"+' + . . . ,

et cherchons à déterminer les coefficients X. On s'aperçoit immédiatement des égalités

ainsi que des formules suivantes servant à calculer de proche en proche les divers coefficients:

Ces formules étant les plus convenables au calcul des coefficients dont il sagit, il n'y a pas lieu de chercher des formules donnant les coefficients isolés indépendamment des autres, formules qui deviendraient assez compliquées.

Voici les résultats qu'on a obtenus en calculant les coefficients dont il s'agit de proche en proche:

Traité des orbites absolues. 12

90 Traité des Orbites des Planètes.

Ar=

Ar=

Ar==