Première Partie. Livre L On a obtenu de la sorte

^» 4? —76'? — ëi'? — êi'? — •••'

Ayant obtenu les résultats précédents, il sera facile den déduire les coefficients du développement

G — F = Bj sinF + 2?, sin 2r + . . . ,

ces coefficients étant les mêmes que nous avons mis en évidence dans Téquation (7). En effet, on déduit, de l'équation mentionnée, lexpression de G, tout à fait comme dans la théorie elliptique, c est à dire en l'intégrant après avoir multiplié son second membre par rfF, et en y considérant yj comme une constante.

De l'équation

sin E = ^ — ; — ^-' — , %

I + îy ces F

on déduit maintenant le développement

sinE = sinFji + A^ cosF + A^ C0S2F + . . .}

= (i -^^,)sinF +i(^, - JJsin2F + . . . .

86 Traité des Orbites des Planètes.

Après avoir multiplié cette équation par tj , nous retranchons le produit de 1 expression

E = F + ^, sinF+^^, sin2F + J^3sin3F+ ...,

ce qui nous donnera:

(i2') G = E — 3y sinE = F + ( ^ ^, — y)(i —\^^) sinF

+ {lA,-\yj[A,-AS)^ir.2Y

+ (i^3-i^(^,-^j)sin3F

On a donc, généralement,

Bs = ;A — -37(-4,«, — ^,+,),

formule qui ne souffre aucune autre exception que celle qui a lieu lorsque 5 est égal à Tunité.

L'expression générale de -4, que nous avons signalé un peu plus haut, entraîne la relation suivante entre deux coefficients consécutifs:

en la portant dans Téquation

qui découle immédiatement d'une formule déjà donnée, il s ensuivra:

En vertu de cette valeur, on obtiendra de lexpression précédente de B, la formule