Première Partie. Livre I

En vertu des valeurs de A^ , B^ et 0^, on parvient à déterminer largument initial 6, qui en effet sera obtenu au moyen de la formule

(13) tang(i» + ^J==^.

Le problème de déterminer la vitesse de l'argument d'un terme remplaçant un agrégat périodique est donc résolu, même pour le cas où aucun des coefficients de l'agrégat dont il s'agit ne surpasse la somme des autres.

36. L'application de la théorie exposée dans les deux numéros précédents au troisième cas, énoncé dans le n® 33, s'opère comme nous allons indiquer.

Pour avoir la transformée de l'agrégat

on va identifier les coefficients ;f , ;f^ , Xj , . . . avec les a, de manière que a^ soit le plus grand entre les coefficients diastématiques, le module y compris; «2, le plus grand après Oj, et ainsi de suite. Puis, on va remplacer les vitesses A, , A, , . . . par les i — <t, et les arguments initiaux ftj , 63 , . . . par les — B, en ayant soin de mettre la vitesse et l'argument initial appartenant au terme avec le plus grand coefficient au lieu de A, et de ft^, et ainsi de suite. Enfin, on calculera la valeur de A^ d'après la formule (10), et celle de ft, que nous désignerons par — J?, d'après la formule (13).

Cela fait, si l'on met i — <t à la place de A, et — ;r, au lieu de — B 4" ^) ^t que l'on suppose que x^ soit le plus grand entre les coefficients diastématiques, il viendra:

(14) \ —a= i—(Tn + K et

(15) p = x,*cos((i —a)v — 7t),

formule, dans laquelle on peut encore égaler le produit ;f„# à jy.

TraiU dt orbiUs absolves. \Q

Mais puisqu'on a, de l'autre côté:

p = G\ i—(T—{<r„^(T) i—ff—{a^—a) ■ ■ ■ \{v), B-{B„-B) -B-{B^-B) ....

il s'ensuit, en comparant cette expression avec la précédente:

■>) cos (tt — B)

r 5f» Xp

cl <T„ (T «Tp —

5y sin (tt — 5) = S | tT„ — <r «r^ — a B. — B B„ — B

Il convient d'ajouter, aux formules précédentes, celle-ci:

(17) *=^ji +pw-lp\w'-i)+lp\w'^w)-...^,

qui découle de l'équation (6).

Par les résultats que nous venons d'obtenir — et dont la nature générale n'aurait pas été altérée si l'on avait obtenu une autre valeur de ff^ — il est manifesté que le périhélie, même dans le troisième cas, a un mouvement moyen. La valeur en est an, et a est un nombre fini et réel, généralement différent de zéro. C'est de même quant au mouvement du noeud. Seulement dans des cas exceptionnels, il peut arriver que le coefficient a soit égal à zéro, ce qui rendrait le périhélie (ou le noeud) oscillant entre certaines limites.

Quant à la question des mouvements des périhélies et des noeuds, les auteurs dans le domaine de la mécanique céleste se sont généralement exprimés, avec quelque réserve. Seulement M. Stockwell, dans un mémoire important sur les variations séculaires des éléments elliptiques, prétend carrément que les périhélies (ou les noeuds) n'ont aucun mouvement moyen dans le cas désigné dans le n^ 33 comme le troisième. Cependant, en