Première Partie. Livre I

Dans ce but, établissons la moyenne des deux expressions (4) et (5); nous aurons de la sorte une expression nouvelle de â^ que nous écrivons ainsi :

ê'=^i+N'+ 2iV[|cosi, + |cosL, +

p[i-cos(i,-A)]-...

En comparant, après avoir remplacé ^, par ^ ,, cette expression

de tf^ avec la précédente, on conclut facilement la valeur (7) W = ^{«3 cosi, + «3 cosi, + . . .

— aja3[i — cos{L^ — ij] — . . .

Ayant obtenu ce résultat, il sera facile, en utilisant une formule bien connue, d'établir le développement que voici:

W J-. = ~J^\ I-2PW+ 2^\2W' - i) - 2^'(4Tf ' -SW) +...].

Cela étant, nous aurons, en multipliant les expressions (2) et (8), et en introduisant le produit ainsi obtenu dans la formule (i), un résultat de la forme

(9) Z" ~ ^1 — ^ + ^ + termes périodiques,

la quantité Xq étant donnée au moyen de Texpression

+ 2/5'[«»(^-'».) + «3(A,-A.)+...][«,a,+«,«,-t-...+«3a, + ...] - aUlli%X, + ^3 - 2^,) - alall3\X, + X, — 2AJ - . . .

120 Traité des Orbites des Planètes.

où Ton n'a mis en évidence que la partie qui est engendrée par les premiers termes du développement (8).

Après avoir ainsi déterminé la quantité A^, si Ton établit la condition

(il) X, — X + X, = o,

qu'on intègre l'équation (9), et qu'on désigne la constante d'intégration par ftj — 6 + Ôq, dont la valeur doit être égalée à zéro, la fonction d sera exprimée par un agrégat périodique sans terme constant.

Maintenant, si l'on désigne par A l'agrégat périodique proposé, de sorte qu'on ait:

Fa, a, . n g\x, X, ... (t;),

le résultat de notre transformation sera:

(12) A = a^»cos{Xv + b + d).

Finalement, la détermination de l'argument initial b s'opère de la manière suivante.

En désignant par A^ , ê^ et â^ les valeurs que prennent les fonctions A , ô et â lorsqu'on y met v égal à zéro, nous aurons l'équation de condition

A = «1*0 cos(A + dj.

Ensuite, si l'on établit un nouvel agrégat, savoir:

ro, a, .. ri

[a, a, .. ri b, b, ...J

= a,^ sin {Xv -i-b + 0),

et qu'on désigne par B^ la valeur de cet agrégat lorsque v est égal à zéro, on aura: