Première Partie. Livre II

les fonctions SJ'*, l étant un nouvel entier, seront données au moyen de la formule

(34) Sî.*(7 , V) =

Pour mettre en évidence le facteur exponentiel, on devra introduire, dans la formule précédente, les valeurs des fonctions D{rj , rj') et Siyj ^ tj), telles qu'on les obtient en vertu des équations (27') et (20), en y mettant des valeurs spéciales au lieu des indices r , s , m , // et p . On parvient ainsi à un résultat de la forme générale

(35) sr»(, , V) = (- iy7}"v'^-""''-'^'-""'-'''i^^K>i > il

R{yj y rj') étant un développement suivant les puissances ascendantes de ly' et de 7)'^. Je ne juge pas, toutefois, nécessaire de chercher les coefficients de ces développements, en les représentant au moyen des formules générales, vu qu'on les obtient assez aisément par des procédés purement numériques, tandis que leurs expressions algébriques seraient très compliquées. Par des considérations tout à fait semblables aux précédentes, ou bien, en changeant rj en iy', ly' en ly, etc., dans les formules (31)^ — (35), on obtient les expressions suivantes que je mets en évidence, seulement pour fixer les notations à employer:

150 Traité des Orbites des Planètes.

(31') ^P<(V'+U') + g<(»'-a,) __ p ^qi{\ + U) I p g(7 + l)<(V+U) J-

(33') Pp^^* = eP«'-""{Sr(y, rj) + Sî-*(V, 07)e'<'-> + . . .

(35') Sr*(:y', 7) = (- i)*7','*e-«<-^>-*«"-^>i2<^l(7', :?).

45. Je vais aborder un dernier problème appartenant aux matières du chapitre présent, savoir le développement de lexponentielle

suivant les arguments G + ;r — -T et G' + ;r' — F'.

On parvient assez facilement à la résolution de ce problème en considérant les relations

t;'— û>' = G' + ^ — ^' + F' — G', — H = jr(F — G) — (F — G').

En effet, la somme de ces égalités donne tout d abord:

V + U = G' + r' — T' + ^(F — G), doù Ton conclut ensuite:

ce qui est, évidemment, le développement cherché. On trouve également la formule analogue

(36') a"*'^^'+^'^ = e'"*^^+^-^^{Z^o'"^'X^') + X<j'"^'>(iy')e-'^'^'-^'>+*^^'+'"^'-^'^ + . . .

et en vertu des ' expressions signalées on déduira, eu égard aux équations

# Première Partie. Livre H. 151

(9) et (9'), les développements des fonctions e'^«(v+u)+i,(.-«,)) ^^ g<{«(V'+u')+«(t-«')) suivant les arguments G + ;r — F et G' + ;r' — F'. Finalement, je mentionnerai lexpression

(37) e-'«^ = [X['\rj) + xî^^)(^)^-*(--r)+<(G+.-r) ^

qui dérive, immédiatement, de la définition, et où Ton a placé A au lieu du produit ap. On en tire, en remplaçant a par a^', et en désignant le nouveau produit ol^' par A':

développement qu'on pourrait d'ailleurs trouver en changeant, dans l'équation (37), a en — a, oy en iy', ^ en ^', etc.

46. La dérivée de la fonction H par rapport à une des variables V ou v' s'exprime d'une manière remarquable qui mérite d'être mentionnée. Pour y parvenir, rappelons-nous les relations

d'où il vient:

Avec cette expression et l'expression analogue de G' — F', on déduit la valeur suivante de la fonction H:

d'où Ion tire par différentîation

du f .dv /ndC , dX\ . ^\h'àC , dX\

152 Traité des Orbites des Planètes.

Le rapport -p , qu'il faut remplacer par son expression en termes connus, s'obtient de l'équation (13')- Oï^ ^1^ tire, en effet:

I y /cJH du \

// I — ç \dt;' dv' /

et si l'on porte cette valeur dans l'équation précédente, on obtiendra, en considérant la valeur

l'équation que voici:

àv ~ ^^ ^^\ dv ^ '^ dv [dv ^ "^ dv )\

[dv ' '^ dv)\dv^ dvT

Mais en vertu des notations qu'on a employées dans les n"*' 25 et 26, on aura, en écrivant:

p — rj cosF; p' = tj' cos F',

les valeurs

dv (I +^)*' dv (I +/>')•*

En les introduisant dans l'équation précédente, on parvient au résultat

I dH y> dH'

^4 ^ I — ç' dv' I — ç' dv'

(i+pY {i+py'^ dv

\(i +py '^ dv/\dv '^ dv)'

duquel on tire, sans peine, l'expression de -7-. ou bien celle de --^ . En