Première Partie. Livre II

Finalement, pour que ressorte tout le facteur exponentiel, on va remplacer les fonctions I par les expressions quon a obtenues en vertu de l'équation (20'); on trouvra de la sorte le résultat

auquel s'ajoute, dans le cas de s = o, la partie

a-JKir-D

Je ne tiens pas nécessaire de développer algébriquement la formule (30), vu que les développements numériques de son deuxième et de son troisième facteur s'obtiennent très aisément, l'un suivant les puissances de jy' et l'autre suivant celles de i^'*. Les expressions de ces facteurs établies, on parviendra immédiatement à la forme de l'équation (29).

En changeant rj en ly', ^ en îy et ^ en jp', et en désignant par X' le produit af?', on écrira immédiatement les équations

(25') e'-"' = E; + £;c«^'+"> + Eie"(^'+") + . . .

+ ELie-'^^'^"^ + El^e-^'^'''^'''^ + . . . ,

X \n\ri') r-r\i) + Ym) Y'^iliri) + . . .

parfaitement analogues aux équations (25), (26) et (27).

44. Après avoir établi les résultats du numéro précédent, il sera très facile d'opérer la conversion y énoncée. En effet, si Ion désigne par p et q deux nombres réels, positifs ou négatifs, il s'agit de trouver le développement, suivant les multiples des arguments V et {v — en), de la fonction

ou réciproquement, celui de la fonction

suivant les multiples de V et de {v' — w'). Ces deux conversions étant tout-à-fait semblables, nous ne nous occuperons que de la seconde.

Quant au second facteur de l'expression dont il s'agit, on parvient immédiatement à son développement en vertu de Téquation (19); celui du premier facteur, qu'on peut mettre sous la forme

^JH(»'— w— H) __. ^C»'— «'+fH')

s'obtient en utilisant l'équation (25'). On conclut ainsi, en admettant la formule

(31) ^KV+U)+9i(r-tu) __. p/ g7f(V'+U') I p/ g(î + l)f(V'+U') I

l'expression suivante des fonctions i^.^+A, k étant un entier positif ou négatif:

(32) P;.,^, = e'>'<^'--'>{E;/7;, + e;,A7;.,^, + EU//;,,^, + . . .

Ensuite, si Ton introduit, dans la formule indiquée, les expressions des fonctions E' et IT selon les équations (26') et (21'), et que l'on suppose:

(33) i*;w+* = «'""'-'°'lS?'*(?.^')+Sî'*(:y,,y')e'^''-"''' +SS-*(^ , 7')«""-'' +•••

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