Première Partie. Livre II

— é ni" + n cos (3v + V - 4W - (?')) + ïfs ^'^' ^^s (3v + V' - 5(*, — 6) + »[ — G')

+ ^27'3(2r + 3P«) cos(3v + V' - (*, - ^ ^ 3W - G'))

-à ^'^"(3^' + 7n eos(3v + V- 2(*, - G) - 2(.9[ - G'))

+ è ^'^'{^' + 4^"} ^os(3v + V' - 3{&^ - G) - W - G'))

+ ^ ^' ces (3(v + V') — 6(5, - (?))

+ rië^" ^^s(3(^ + V) — 6(#; — G'))

+ ^ Vr cos (3(v + V') - 4(i9, — G) — 2(5; — G'))

— -^ /^i' cos (3(v + V') - 5(5, - (?) - (5; -^ G'))

— :^7/'^ cos(3(v + V') - (5, — (?) - 5(5; - (?')) + ^J'r cos(3(v + V') - 2(5, - (?) - 4(*; - (?'))

— A 73/'« cos(3(v + V') — 3(»9, - G^) - 3(*; - G%

Dans cette dernière expression, dont chaque terme est du sixième degré, on a mis Tunité au lieu des facteurs i + f et i + f, vu que les quantités f et f sont du deuxième degré et que nous omettons généralement les termes d'un degré plus élevé que le sixième.

On aurait pu encore, dans l'expression de hj, changer- v et v' en v et v\ et supprimer les quantités G et G', parce qu elles sont du deuxième degré. C'est pour garder l'uniformité des arguments que j ai évité un tel changement, du reste sans importance.

48. Après avoir obtenu les expressions de h© , hj et hj, nous passons à chercher le développement de la fonction cos wH , n étant un nombre entier.

D'abord, si n est un nombre pair, on exprimera la fonction dont il s'agit moyennant la formule

cos nn = I sin fl' H ^^ siuH* — ... ;

IGO Traité des Orbites des Planètes,

et si Ton y introduit la valeur

sin W = sin (v — v')' — 2h cos (v — v') — h^,

qui dérive immédiatement de l'équation (3), il viendra:

cos nH = cosn(v — v')

2 — ^ sm (v — V )^

{2hcos(v— v') + h'}

Evidemment, on pourrait de cette formule tirer les coefficients des diverses puissances de — (2hcos(v — v') + h^ sous forme d'agrégats périodiques ne dépendant pas d autres arguments que des multiples du seul angle v — v'; mais on y parvient plus promptement de la manière suivante.

Il est aisé de voir que, si Ton désigne sin/i* par x, la formule précédente peut se mettre sous la forme

cos nH = cosn{v — v') (2h cos(v — v') + h')

sous réserve, toutefois, qu'après avoir opéré les différentiations demandées, on remplace H par v — v'.

/ Or, la première dérivée de coswH par rapport à x s'exprime moyennant la formule

d cos nH sin nH

dx sm 2 H

d'où l'on conclut, si Ton écrit 2m au lieu de n et que m soit un nombre impair :

dcos2mH . . jj. . oTT t I / \ T7i = — 2m\ I -f- 2 cos4ff -f 2 cos8fl^+ .. . + 2 cos 2 (m — O^K