Première Partie. Livre II

dans le cas opposé, savoir si m est un nombre pair, l'expression de notre dérivée devient:

dcos2mH . y.. ^ T7 , , / \ Tfi -j = — 4m j cos 2H + cos oH + . • • + cos 2 [m — ^)"\ •

On est donc arrivé à exprimer la fonction coswH, en tant qu'elle dépend de la première puissance de h, et dans le cas d'une valeur paire du nombre n.

En différentiant, par rapport à a?, les équations dernièrement obtenues, et en remplaçant les termes se produisant dans les seconds membres, par leurs expressions tirées des équations mentionnées elles-mêmes, il résultera:

a) m étant un nombre pair,

+ i6m(3 + 5 + • • + wi — i) COS47/

+ i6m{s + . . . + wî — 1) cos 87/

+ i6m{m — i) cos 2 (m -^ 2)//;

b) m étant un nombre impair;

—^ — =^ 1 6m (2 + 4 + 6 + . . . + ^^ — I ) cos 2 //

+ 1 6m (4 + 6 + . . . + w^ — I ) cos 677

+ i6m(m — i) cos 2(w — 2)7/.

Rien n*empêche de continuer ces formules, les déduisant par des opérations successives. Cependant, les dérivées supérieures devenant assez compliquées, je nai pas jugé convenable de poursuivre leur développement.

C'est de même quant aux dites fonctions appartenant aux valeurs impaires de n. Bien qu'on ait, n étant un nombre impair:

cosw^ = cos E\ I sm W + ^ ^'sin 7/' — ... ,

Traité des orbites absolues. 21

1G2 Traité des Orbites des Planètes,

et qu'on en puisse déduire un résultat de la forme

cas nH = cosw(v — v') +

I sin (v — v')' + .

+ 2 ^^ sm (v — V )^ + . . . 2h cos (v — v )*

les opérations algébriques pour mettre en évidence, sous fotme d'agrégats périodiques, les coefficients des diverses puissances de h, seraient assez laborieuses, notamment si n était un grand nombre. La méthode que je viens d'indiquer pour le développement des fonctions dont il s'agit, n'est donc pas, à tout égard, satisfaisante, bien qu'elle en donne, très facilement, les premiers termes.^

Mais la complication, qui paraît inhérente à notre problème, ne tient pas autant à la nature des coefficients qu'il s'agit d*établir, qu a la manière indiquée de les déterminer. En effet, si, au lieu de chercher ces coefficients par des formules algébriques, qui les donnent indépendamment, les uns des autres, on se sert d'un algorithme au moyen duquel on les déduit de proche en proche, les résultats s obtiendront assez facilement, du moins si le nombre n n'est pas très grand. Cest par une telle méthode que nous allons résoudre, dans le numéro prochain, notre problème.

49. Admettons que la fonction cos nH soit donnée par le développement fini:

(7) cosnH = cosw(v— V') + ¥,,h + ^;.,h^ + . . . + V:„h\

les ¥*' étant des fonctions dépendant uniquement de l'angle v — v'; en multipliant cette équation, membre par membre, par celle-ci:

cos H = cos (v — v') + b ,

* On pourrait toutefois chercher les développements demandés au moyen de la formule

cosn

I \ a cos H / //.v v' 1 . 2 \{d cos H) / n^y-y' et on obtiendrait ainsi les coefficients des diverses puissances de h tout-à-fait identiques avec ceux qu'on va trouver dans le numéro prochain.