Première Partie. Livre I

les cas plus compliqués que nous allons envisager prochainement, les choses seront à peu près les mêmes.

5. Si l'on admet, pour constituer une généralisation do l'exemple que nous venons de traiter,

ou bien:

^-.^+/M^-' +/Mi-V +

p - fu> + i^y +

les y9 étant des quantités très petites, on aura encore une expression périodique de p qui reste toujours inférieure à l'unité, pourvu que les arbitraires introduites par l'intégration acquièrent des valeurs convenables. En effet, si Ton introduit dans l'équation (5) l'expression de P qu'on vient d'indiquer, il en résultera:

p = X^ -{- X^ COS/' + Xj COS 2f + Z3 cos 3/' + . . . .

On y a, comme auparavant, nommé /' l'angle (1 — ç)v — V.

Les deux constantes d'intégration étant désignées par x et F, les coefficients Xg , /, , /, , . . . s'évanouissent évidemment avec x, et ils deviennent avec cette quantité très petits; ils prennent encore, à l'exception du coefficient x^ , des valeurs très petites avec les /9 .

Ce que nous venons de dire relativement aux coefficients x découle immédiatement de leurs expressions approchées qu'on obtient aisément. Les voici:

[-2'(i-cr+ I -PAy-,-\^^'+-Jj~' + -

[-4^fi-c)'+ I-/Î,]/. =«-yV + ...,

22 Traité des Orlntes^ des Planète?,

auxquelles il f;iut ajouter Téquation de conclition

-(i-c)^+ i-,5, ^Ii3.^,^+li9^,^+ ...

d'où s'obtient le coefficient ç.

Je n'insiste pas à donner plus amplement la théorie du développement dont il s'agit, théorie d'ailleurs assez connue par les travaux de plusieurs savants. Je remarque seulement que ce développement est convergent, ce qu'on peut conclure immédiatement des expressions par lesquelles sont donnés les coefficients.

La trajectoire définie par l'équation

I + Jfo + ^, COS f + X^ COS 2f + ...

est une courbe périplégmatique non fermée, jouissant des propriétés principales fjue nous avons signalées dans le u° précédent.

Pour corroborer cette assertion, cherchons d'abord les points d'intersection qu'ont les diverses spires de la courbe. En opérant comme dans le n° 4, nous l'etrouvons la condition

(I - C)^>., -/■= 2h7r-{i- ç)v,,, + l\ qui nous donne, en remplaçant // par k -\- l et /. + / + i , l'un après l'autre, i) h = k + /,

'' I + ;f„ -f >r, COS / + ;f, COS 2/' -f . . . ' ''' i — ç i — ç

2) h=^k + 1 + l .. l' -f. r+n {2l + d)Qr.

I + x„ — x^ COS f + x^ eus 2f — . . . ■' I — ç I — ç

De ces expressions, on conclut immédiatement que les points d'intersection sont situés sur des isopycnotes, et que ces courbes sont des cercles ayant r,, pour rayon.

Nous ne nous arrêtons pas à établir l'expression de >v, — >'j ■ qui sera, en effet, difféi'ente de celle donnée dans le n° précédent; il nous suffit de remarquer que la condensation des points d'intersection le long du rayon vecteur est plus grande vers les limites de la couronne qu'elle ne l'est à son milieu.

Pi'omiAve Partie. Livre I.

Quant aux tangeutos qu'où peut mener à chaque point d'intersection, il y en a toujours deux Les angles que fout ces tangentes avec la direction de l'origine des arcs, s'obtiennent au moyen des formules

( I — ç)(;f, sin Jçt: + 2z, sin 2 Jçtt + . . .)

tang (90° — (a^j -

tang (90° — (a, , -

l'on conclut:

i + X^ + X^ COS JÇTT + X., co.s 2ilç- +

( I — ç)(x^ siu ilç- + 2x^ siu 2Jçz + .

l + X^ + X^ COS (I.^TZ + X.^ e(,)S 2(/ç,T +

La courbe dont nous venons d'exposer succinctement les principales propriétés peut être considérée comme le type le plus général des courbes périplégmatiques, résultant de l'hypothèse que /7 soit une fonction de r seul. Dans certains cas, subordonnés à cette hypothèse, ou pourra mettre l'intégrale de l'équation (4) sous une forme finie, en l'exprimant au moyen de fonctions elliptiques ou ultraelHpticiues; mais cette forme, n'offrant pas d'intérêt à la théorie des mouvements des planètes, et du reste, ayant été étudiée à plusieures reprises, je n'en ferai pas l'exposition quant à présent.

6. Venons maintenant à l'hypothè.se que // soit une fonction de v seul, ne contenant que des termes périodiques.

Dans le présent ouvrage, il s'agira très souvent d'agrégats de termes périodiques dont le nombre peut être fini ou infini, et dont les arguments sont formés par la variable indépendante r, multipliée jiar un noml)re (|uelconque i^i„, auquel produit est ajouté un angle constant h,,. Je vais établir, dès le début, une notation particulière pour signifier une telle somme, que je nomme brièvement of/réf/iif prr'iodique. Or, en désignant par a^ , «.^ , . . . des coefficients quelconques qui forment, si leur nombre est infini, une série convergente, je pose:

», cos(/,'y -f ij + «., eus (;,;?' + ]>.,) +

«, sin (A,r + />,) + <i, sin (l,r + A.,) +..,== S

24 Traité des Orbites des Planètes.

ou bien, s'il n'est pas nécessaire de distinguer les divers coefficients,

rtj cos(^,v + Z*,) + . . . = G{aXb){v), «,sin(^, .' + />,)+...- S(«Ai)(i;).

Egalement, je vais employer un symbole spécial pour dénoter un agrégat complexe, à savoir la somme d'un agrégat C et le produit de l'agrégat correspondant S par l'unité imaginaire. La notation dont je me servirai est celle-ci :

Ca

iv),

ou plus brièvement:

C{a?.l){v) + ;S(rtA/>)(î;) = E{aXh){ir).

Dans toute expression de la nature indiquée, les éléments a seront nommés coefficients, les éléments X, vitesses de l'argument, et les éléments h, arguments initiaux.

Evidemment, on peut supposer tous les coefficients positifs, vu qu'il est permis, dans le cas d'un coefficient primitivement négatif, de changer le signe, pourvu qu'on ajoute simultanément + - à l'argument initial.

Quelquefois, il serait utile de désigner l'argument complet par un seul symbole. Dans ce cas, les expressions précédentes peuvent être simplifiées. En effet, si l'on admet les notations

on aura, ce qui est très facile à comprendre,

Dans le second membre de cette identité, on peut évidemment supprimer, sans aucun inconvénient, les arguments initiaux, qui sont partout égaux à

iric Partie. Ijivic I.

zéro, ainsi que Tunité, qui figure, à la place de la variable indt'jjendaute, entre les deux dernières parenthèses. De la sorte, on aura

=^ rtj cos Xj + (1.^ eos .r.j +

et de même:

■= fl, siu :>\ + "-i i^iii '^'.j +

Les agrégats périodiques jouissent de quelques propriétés générales, utiles à connaître: j'en vais donner un exposé rajoide.

D'abord: on peut toujours mettre un agrégat périodique n'ayant aucune vitesse de l'argument égale à zéro sous forme d'un produit de deux facteurs dont l'un, le coefficient, ne passe jamais par zéro, et l'autre, un cosinus ou un sinus, dépend d'un argument dont la vitesse est toujours différente de zéro, et dont la partie initiale est un nouvel agrégat périodique ou du moins, une fonction oscillant entre deux limites finies à laquelle se trouve ajouté un multiple pair de la demicirconférence.

Désignons par X et h deux quantités constantes, réelles et encore indéterminées; il s'entend facilement ([u'on pont mettre:

[o) = cos(;.r + h)0

siu(;.*' + />)S

c) = Hm{Xv + b)C

Traité tles orbites absolues.

+ cos(Ar + />)S

Traité des Orbites des Planètes.

Cela étant, nous allons former deux nouvelles fonctions s et 0, en les définissant au moyen des équations

c cos ^ = C

£ sin ^ = S

ir),

et nous chercherons à déterminer, s'il est possible, la constante A de manière à débarasser la fonction d de tout terme de nature séculaire. Les relations que nous venons d'établir s'écrivant ainsi

on en tire:

Jj^ — h h., — h

X — Al / — A,

Or, si nous supposons a^ plus grand que les autres coefficients et si nous admettons les notations

nous aurons:

(12) o/^ o;[(^ ;),, + /,__^,] 4. log{i 4. „^e*-'-^'>"+^-''l +...Î

— log|i + a,e-'W-'-'"+'-''J + ■ .-l.