Première Partie. Livre I

et la supposition //- égal à A" + / + i entraîne les valeurs (i — C)w,., — /' --^ {2k + i)7r— ^/c;r,

(l —Ç)v,,— r^- (2/ + l)7r + dÇTT.

Maintenant, si nous désignons par Vj la valeur de r qui résulte de la formule générale, en y portant les expressions signalées de l'argument, nous aurons :

I + X cos dç;T ' I — ç I — ç

2) // ^ A- + / + I , a{l — »') jr f+TT , (2/ + d)ç7:

^ id ^ ~, : H ; ", —

I — X cos Jç~

En attribuant à // d'autres valeurs que celles qu'on a supposées cidessus, on retomberait toujours dans l'un ou l'autre des cas déjà cosidérés. Nous ne distinguons donc que ces deux cas.

Dans les formules que nous venons d'établir, / et d jjeuvent acquérir les valeurs de tous les nombres entiei's, positifs et négatifs, zéro 3' compris. Cependant, si l'on y fait d égal a zéro, on ne déterminera plus un point d'intersection, mais bien un point sur l'un ou l'autre des cercles concentriques, lesquels sont touchés seulement par la courbe périplégmatique; puis, en n'admettant que les valeurs positives de d, on aura néanmoins tous les points d'intersection, vu qu'on pourra toujours supposer k > I .

Cela étant, si l'on attribue à l les valeurs des nombres entiers, positives et négatives, et qu'on suppose d constant, ou aura une infinité de points d'intersection, tous situés sur la circonférence d'un cercle — on peut l'appeler isopi/cnote — dont le rayon est donné par l'une ou l'autre des expressions précédentes de r^. Ensuite, si l'on renouvelle ce procédé avec une autre valeur de d, on aura une nouvelle suite de points Jd'intersection le long d'un nouvel isopycnote, et ainsi de suite. De la sorte, on obtient, en mettant au lieu de d les nombres entiers, une infinité d'isopycnotes.

Considérons deux points sur le même isopycnote. En désignant les deux valeurs de / ])ar l et /j, on aura les relations

V ^' t i^i+J)i- . ir r (2/, -f d)ç7r

Traiti dea orbites absolues. o

18 Traité des Orbites des Planètes,

dont la différence est:

Faisons voir qu'on peut prendre le nombre /, de manière que la différence que nous avons mise en évidence soit si près dun multiple de 2;r qu'on voudra, le nombre I étant fixé. En effet, si l'on désigne par m un nouvel entier, et par à, une quantité irrationnelle plus petite que l'unité, on peut mettre

^'-^^ = n. + rl I — ç

d'où :

Evidemment, les nombres l^ — / et m peuvent être choisis de manière ù

rendre le rapport si approché de — ^ — que l'on voudra. Ils'ensuit, à

employer la terminologie de M. G. Cantor, que les points d'intersection sont condensés dans toute l'étendue de l'isop^ycnote, et que les ensembles sur les divers isopycnotes sont des images, les unes des autres. Tl est encore évident que la condensation e.st la même dans toutes les directions.

Sur chaque rayon vecteur appartenant à an V,,,, prolongé jusqu'à la circonférence extérieure, se trouve une infinité de points d'intersection, condensés dans toute l'étendue de ce rayon entre les deux circonférences entourantes, mais la condensation n'est pas uniforme dans~ cette étendue.

Pour démontrer cette thèse, l'appelons-uous qu'on obtient exactement la même valeur de F,,;, si l'on introduit, dans les formules générales, des valeurs de / et d satisfaisant aux conditions

il y a donc une infinité de points d'intersectioit sur chaque rayon vecteur.

Mais, voyons encore comment sont distribués ces points sur les divers rayons.

Dans ce but, après avoir désigné par n un nombre entier, et par s, une quantité déterminée au moyen de la formule

Prcmièip Partie. Livre I. If*

de sorte qu'on a:

concevons les expressions

I + ;fCOS(i^,ç,T I + ;fCOs(iiç;:+ 2£-

On en déduit:

ax{i — /)

[cOS(7ç,T C0s(c/ÇT + 2£n-)],

' ' (i + X CO.S (/ç;,t)( I + zcos((/ç;r + 2£,t))

2ax( i — x''} siu £7T sin (t/çn- + £~)

(I + /COSrfOT)(l + XCOS (dçTZ + 2£7t))

De ces relations, il sera facile de conclure qu'on pourra choisir les entiers n et d^ [d étant fixé) de façon f[ue la quantité s , et en conséquence, la différence r,, — r^ soit moindre que toute quantité donnée. De là, il se comprend que la condensation des points d'intersection s'étend sur toute la portion du rayon vecteur comprise entre les deux circonférences.

Mais la condensation dans cette étendue n'est pas uniforme: elle est plus grande près du cercle intérieur (ju'au voisinage du cercle extérieur, et notamment au milieu de ces deux cercles, ce qui s'entend immédiatement de la formule précédente, qui montre que la différence r,,^ — r^ prend les plus petites valeurs, lorsque i]ç~ est près d'un multiple de ~, et les plus grandes, lorsque ce produit s'approche d'un multiple impair

de ^t:.

A chaque point oii se coupent les diverses spires de la courhe que nous venons d'étudier dans le n° précédent, on peut mener deux tangentes touchant l'une et l'autre partie de la trace.

Désignons généralement les angles que forment ces tangentes avec la direction fondamentale par a, de sorte (ju'ou aura

cotang (a — v) = - -^ ,

'^ ^ ' r du

x(i — g)sin((i — ç)v — F)] ~ I + ;f eus [( i — ç) y — F]

20 Traité des Orbites des Planètes.

Si, dans cette formule, on introduit au lieu de (>, lune après l'autre les valeurs v^, et ;',.*» et qu'on nomme o^., et a, ^ les valeurs que prend a en vertu de ces deux substitutions, on parvient aux formules

tang 1 90 — (a, , — iK ,)) = = — ,

x{l — ç) sin dçr, I + X cos dç~

tang (90° — (o(,., — (',.;)) = desquelles on tire:

«A / + «;.t = ih., + »,.L + I 80",

ou bien, en ne tenant pas compte des révolutions entières,

«A-.i + «/.* = -Vu + ' 80°.

Tant que ç est un nombre irrationnel, ainsi que le produit çtt, l'angle 90° — (ot; , — v,:.,) ne peut pas disparaître exactement, et en conséquence, les deux tangentes menées à un point d'intersection, ne peuvent non plus coïncider. Mais, il y a une infinité de points d'intersection où l'angle que forment les deux tangentes est plus petit que toute grandeur désignée.

11 s'ensuit encore que l'angle formé jjar les deux normales est divisé par le rayon vecteur en deux parties égales.

L'expression du rayon de courbure devenant avec les valeurs signalées de v:

^ ^ t I V ■<# n-rto ri n-rr ' ' '

:x(i — ç) siurfç-\ ■

\ I + xcosdçTt )

I + /?, X cos dçn

ix{\ — Ç) siiidç;ry

Ai

\ I — X cos dç- )

^ ' I —/9,Z cos rfÇTT - ' '

il s'ensuit que la courbure des deux spires est la même au point d'intersection; néanmoins, à ce point, il y a deux rayons de courbure égaux et faisant, l'un avec l'autre, l'angle a^ , — ct;^.

Voilà l'exemple le plus simple d'une courbe périplégmatique non fermée: nous en avons examiné les propriétés un peu en détail, vu que dans